Polynom mit 4 Nullstellen, zeigen dass f(k) ≠ 11

Question

ich habe ein Polynom f gegeben, das Element von Z[X] ist. f hat 4 paarweise verschiedene Nullstellen in Z. Ich soll nun zeigen, dass es kein k € Z gibt, so dass f(k) = 11 ist. Wie soll ich da rangehen? Habs mal zerlegt in f(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-a4)*g(x), aber weiter weiß ich auch nicht..

Comments

Tipp: Bekanntlich ist 11 eine Primzahl.

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weil man 11 nicht in faktoren zerlgen kann also?

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Als Teiler der 11 kommen nur die Zahlen -1,1,-11,11 in Frage.

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und weil auf der rechten seite 5 faktoren stehen, geht das nicht?

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Aus f(k) = 11 und den vier verschiedenen, ganzzahligen Nullstellen von f folgt
(k-a1)(k-a2)(k-a3)(k-a4)*g(k) = 11 für k∈ℤ mit vier verschiedenen, ganzzahligen
Linearfaktoren und einem ganzzahligen^(*) Faktor g(k). Da die Zahl 11 als Primzahl
nur vier verschiedene ganzzahlige Teiler aufweist, folgt 121*g(k) = 11 und damit
g(k) = 1/11. Das ist aber ein Widerspruch zur Ganzzahligkeit^(*) des Faktors g(k).

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Und woher weiß ich, dass g(k) wieder in Z[X] liegt?

Answer 1

$$  f(k) = 11  $$ ???
$$f(k),k,l,m,n \in \mathbb{Z}\;\, m\ne n$$
$$f(k)= l\cdot  (k-n)\cdot(k+n)\cdot(k-m)(k+m)$$
$$f(k)= l\cdot  (k^2-n^2)\cdot(k^2-m^2)$$
um den Faktor 11 zu bekommen, geht nur k=6 und m=5
$$11= l\cdot  (6^2-n^2)\cdot(6^2-5^2)$$
$$11= l\cdot  (36-n^2)\cdot(36-25)$$
nun brauchen wir noch den Faktor 1, der einzig aus k=1 und n=0 erzeugt werden kann. k ist aber bereits mit 6 belegt - die einzige Möglichkeit 11 zu bilden.
Oder andersherum argumentiert: n^2 müsste 35 sein ; aber 35 ist keine Quadratzahl, also existiert kein $$n\in \mathbb{Z}$$, das die Bedingung erfüllt.

Comments

Wie kommst du auf die Gleichung f(k) = l*(k-n)(k+n)(k-m)(k+m)?

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n,m sind die jeweiligen paarweisen Nullstellen. Die Gleichung ist die allgemeine Form der Linearfaktorentwicklung eines Polynoms 4. Grades. Der Streckungsfaktor hier "l" benannt, ist der Vollständigkeit halber drin,  hier aber ohne Belang.

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aber ich habe doch 4 nullstellen und nicht nur 2?

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Wenn die Nullstellen PAARWEISE auftreten, dann bedeutet das was ?

Die gleiche Zahl, aber einmal plus und einmal minus !

Deine vier Nullstellen (a1,...4) sind nicht gepaart.

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sie sind doch paarweise verschieden? das bedeutet doch lediglich, dass a1 != a2 != a3 != a4, oder?

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Das ist nicht paarweise verschieden, sondern alle sind voneinander verschieden.

Beispiel:

$$ y(x)=(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)$$

totales Durchananda ...

paarweise verschieden:

$$ y(x)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)$$

klaro ?

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oky, war nur verwirrt weil ich dazu auch leider nix im internet gefunden habe

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Jetzt ist es im Internet ...

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Vermutlich sollte man was von konjugiert-komplexen Nullstellen gehört haben, um darauf zu kommen - die treten auch immer paarweise auf. Hier sind sie nur nicht komplex, sondern rein reell ohne Imaginärteil.
Wobei bei den konjugiert-komplexen der Realteil bei gleichem Vorzeichen bleibt. Vielleicht hat der Aufgabensteller das auch so gemeint, dass es zwei reelle Nullstellen gibt, die jeweils doppelt vorkommen. Könnte ja auch sein - kannst ja mal probieren ...

Wäre ja noch interessant herauszufinden, ob mit konjugiert-komplexen Nullstellen die 11 zusammenzubasteln wäre , oder?

Aber jetzt gehe ich erstmal schnarchen -eh schon viel zu spät wieder !