Wahrscheinlichkeitsrechnung am Tetraederwürfel. Gewinn je nach Augensumme oder Pasch

Question

Ein Spieler wirft drei Tetraederwürfel. Der Einsatz pro Wurf ist 2€. Beträgt die Augensumme mindestens 11 oder ein Pasch tritt auf, so werden 6€ ausgezahlt. Bei einer Augensumme größer 7 und kleiner 11 werden 3€ ausgezahlt.
a) Berechnen Sie die langfristigen Gewinnchancen bei diesem Spiel
b) Verändern Sie die Auszahlungmodalitäten so, dass ein faires Spiel entsteht.

Comments

Weisst du, was man unter Pasch versteht?

Sind die Tetraderseiten mit 1 bis 4 nummeriert?

Answer 1

Bezeichne einen typischen Ausgang eines solchen Wurfs mit (xyz), wobei x,y,z,∈ {1,2,3,4) die Augenzahlen der drei geworfenen Tetraeder bedeuten.

Es gibt 12 Möglichkeiten, die Augensumme 8 zu erzielen:
(134),(143),(314),(341),(413),(431),(224),(242),(422),(233),(323),(332).
Es gibt 10 Möglichkeiten, die Augensumme 9 zu erzielen:
(144),(414),(441),(234),(243),(324),(342),(423),(432),(333).
Es gibt 6 Möglichkeiten, die Augensumme 10 zu erzielen:
(244),(424),(442),(334),(343),(433).
Es gibt 3 Möglichkeiten, die Augensumme 11 zu erzielen:
(344),(434),(443).
Es gibt 1 Möglichkeit, die Augensumme 12 zu erzielen:
(444).
Es gibt 4 Möglichkeiten, einen Pasch zu erzielen:
(111),(222),(333),(444).

(333) und (444) kommen jeweils doppelt vor (Augensumme = 9 oder Pasch, bzw. Augensumme = 12 oder Pasch) und werden dem höheren Gewinn zugeordnet.
Es gibt demnach 7 Möglichkeiten, 6 Euro, sowie 27 Möglichkeiten, 3 Euro zu gewinnen.
Insgesamt gibt es 4³ = 64 verschiedene Ausgänge.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist demnach
P = (7*6 + 27*3)/(2*64) ≈ 96,1%.

Um das Spiel fair zu gestalten, müsste man einen zusätzlichen Gewinnrang einführen oder mindestens einen Gewinn in dem Maße erhöhen, dass eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 100% erreicht twird.