Bestimmung des Lots (quadratische Ergänzung)

Question

Es seien die Punkte \( P=\left(\begin{array}{c}p_{1} \\ p_{2}\end{array}\right) \) und \( Q=\left(\begin{array}{c}q_{1} \\ q_{2}\end{array}\right) \) gegeben.

Bestimmen Sie die Menge aller Punkte \( X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \), für die \( \overrightarrow{P X} \) senkrecht auf \( \overrightarrow{Q X} \) steht.

Skizzieren Sie diese Menge für \( P=\left(\begin{array}{c}3 \\ 0\end{array}\right) \) und \( Q=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2\end{array}\right) \).

Hinweis: Quadratische Ergänzung

Comments

Hi, die Punkte P, Q und X bilden nach den Vorgaben ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse PQ. Die Punkte X liegen daher auf dem entsprechenden Thaleskreis. Setzt man so an, benötigt man aber vermutlich keine quadratische Ergänzung...

Alternativ dazu könnte man mit der Skalarproduktgleichung PX*QX=0 ansetzen.

Answer 1

Ich schreib mal die Vektoren als Zeilen statt Spalten:
Vektor PX  ist (x1 - p1  ;   x2  -  p2 )  und QX  ( x1 - q1 ; x2 - q2 )
senkrecht: Skalarprodukt = 0
(x1 - p1)*( x1  -  q1 )    +   ( x2  -  p2 )*(X2 - q2 ) = 0
x1^2  -  x1q1  - p1x1 + p1q1   + x2^2 - p2x2  - q2x2  +  p2q2 = 0

x1^2  + x1(-q1  - p1)+ p1q1   + x2^2 + x2( -p2  - q2) + p2q2 = 0 

x1^2  + x1(-q1  - p1)  +(1/4)(q1+p1)^2 - (1/4)(q1+p1)^2  + p1q1 

                 + x2^2 + x2( -p2  - q2) +(1/4)(p2+q2)^2 -(1/4)(p2+q2)^2   +  p2q2 = 0

(x1 -0,5(p1+q1))^2 - (1/4)(q1+p1)^2  + p1q1 + (x2-0,5(p2+q2))^2  -(1/4)(p2+q2)^2   +  p2q2 = 0

(x1 -0,5(p1+q1))^2 +(x2-0,5(p2+q2))^2  =     (1/4)(q1+p1)^2  -p1q1  +   (1/4)(p2+q2)^2   - p2q2

(x1 -0,5(p1+q1))^2 +(x2-0,5(p2+q2))^2  =  (1/4)* ((p1-q1)^2 +(p2-q2)^2)

Das gibt einen Kreis um den Mittelpunkt von PQ mit Radius (1/2)LängePQ

Das ist der Satz des Thales !