ich war leider heute nicht in meinem Tutorium und habe nur von meinem Übungspartner erfahren das unsere Abgabe bei einer bestimmten Aufgabe komplett falsch war, er hat aber wohl auch nicht ganz verstanden was nun richtig war. Es wäre super, wenn mir einer von euch die Aufgabe verständlich vorrechnen könnte. Danke schon mal für eure Hilfe :)
13. (a) Welche der folgenden Folgen sind konvergent?
$$ \begin{array}{cccc} {\frac{(-1)^{n}}{n}} & {1, \frac{1}{2}, 1, \frac{1}{4}, 1, \frac{1}{6}, \ldots} & {} & {1, \frac{3}{2}, 1, \frac{5}{4}, 1, \frac{7}{6}, \ldots} \\ {\frac{n^{3}+n^{2}-177}{4 n^{4}+178}} & {\left(2+2^{-n}\right) \frac{n^{2}+2}{2 n^{2}+1}} & {\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}} & {\frac{\left(x+\frac{1}{n}\right)^{2}-x^{2}}{\frac{1}{n}}} \end{array} $$
(Bei der letzten Folge bezeichnet \( x \in \mathbb{R} \) eine beliebige reelle Zahl.)
$$ \text { (b) Zeige für }|q|<1 \quad \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} q^{n}=0 $$
[Tipp: Zeige, dass es für \( 0<|q|<1 \) ein \( a>0 \) gibt mit \( |q|=\frac{1}{1+a} \) und benutze dann die Bernoullische Ungleichung ( 1.16) und Satz 1.40 (a). Man mache sich ohne Beweis auch \( \left|q^{n}\right|=|q|^{n} \) klar; vgl. ( 1.5)\( \cdot 1 \)
