Monotonie, Beschränkheit und Konvergänz einer Folge nachweisen

Question

$$ { a }_{ n }:=\frac { 1 }{ n+1 } +\frac { 1 }{ n+2 } +...+\frac { 1 }{ 2n } =\sum _{ k=n+1 }^{ 2n }{ \frac { 1 }{ k }  }  $$

Ich muss zeigen dass,

a) $$ { \left( { a }_{ n } \right)  }_{ n=1 }^{ \infty  }$$ monoton steigend ist.

b) $$ \frac { 1 }{ 2 } \le { a }_{ n }\le 1\quad \forall n\quad \epsilon \quad \Nu  $$

c) $$ { \left( { a }_{ n } \right)  }_{ n=1 }^{ \infty  }$$ konvergent ist.

Ich scheitere schon bei der ersten Aufgabe. Ich bin mir nicht sicher was da genau gemacht werden muss.

Ist ja so dass man dann zeigen muss: $$ { a }_{ n+1 }-{ a }_{ n }\ge 0$$

kann mir da jemand etwas nachhelfen.

Answer 1

monoton steigend heißt doch nur   a_n+1 >= a_n für alle n oder wie du es hast

a_n+1 - a_n  >= 0

a_n+1 - a_n   = (1/(n+2) ) + ....   + 1/(2n+2) )   -  [  (1/(n+1)) + ....... + 1/(2n)   ]

= -1(n+1)  +  1/(2n+1) + 1/(2n+2) Die anderen Summanden heben sich alle gegenseitig auf.

=  gibt ausgerechnet   1  /  ((2n+2)*(2n+1))  ist also positiv.

beschränkt:

Die einzelnen Summanden sind alle kleiner oder gleich  1/(n+1) und

es sind n Stück, also ist die Summe <=  n/(n+1) < 1

Außerdem sind alle Summanden größer gleich 1/(2n) und wegen n Stück

ist die Summe >= (1/2).

c) ist ein bekannter Satz: Jede monoton steigende nach oben beschränkte

Folge ist konvergent.