Monotonie, Beschraenktheit und Kovergenz einer Folge

Question

Aufgabe:

Untersuche auf Beschränktheit, Monotonie und Kovergenz

$$x_1=2,\\ x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n + \frac{2}{x_n}),\\ n\geq1$$

Problem/Ansatz:

ich habe ein Problem damit, wie ich hier vorgehen soll. Bei den Aufgaben wo ich:

$$a_n = 1+\frac{(-1)^n}{n}, n\geq1$$

gegeben habe, habe ich eigentlich keine Probleme mit dem umstellen um:

$$|a_n|<c, c \in \R$$

zu finden, usw. aber sobald ein x_n drin ist komme ich nicht mehr klar.

Mein Ansatz.

Ich weiss das jede beschränkte Folge kovergent ist.

dann hätte ich mir die Formel mit x_n genommen und umgestellt zu:

$$\frac{(x_n)^2+2}{2x_n}$$

dort kann ich dann mit dem Grenzwert sehen, das die Folge gegen;

$$+\infty$$

divigerit und somit meine Folge auch nicht beschränkt ist und da sie gegen unendlich strebt auch monoton wachsend ist.

ich fühle mich aber nicht sicher mit diesem Vorgehen und freue mich über jede Hilfe!

Comments

1. Zeige, dass die Folge nach unten durch \(\sqrt2\) beschränkt ist.
2. Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
3. Berechne den Grenzwert aus \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{n+1}\).

Answer 1

Die ersten drei Folgenglieder sind 2; 1,5;   17/12≈1,4166

Das sieht nicht aus wie Divergenz.

Answer 2

Die Folge geht keineswegs gegen Unendlich sondern geht gegen einen Wert in der Nähe von \( \sqrt{2} \).

 \( \frac{1}{2^{100}} \)+\( \sqrt{2} \) ist eine mögliche untere Schranke.

Comments

Das ist sehr irreführend. "In der Nähe von" verstehe ich anders.

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... wurde inzwischen präzisiert.

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Jetzt ist es komplett falsch.

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aber wie weise ich per hand nach, das der Grenzwert √2 ist?

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https://mathepedia.de/Naeherung_von_Wurzel_2.html

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danke, aber was hat das mit der gg. Formel in meiner Aufgabe zu tun?

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aber wie weise ich per hand nach, das der Grenzwert √2 ist?

Indem du die Gleichung

\( x_{n}=\frac{1}{2}(x_n + \frac{2}{x_n})\) richtig nach x_n auflöst.

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Das alleine reicht für einen Nachweis nicht aus.

Answer 3

Ich weiß, dass jede beschränkte Folge konvergent ist.

Das stimmt aber nicht, z.B. bei (-1)^n ist das nicht so.

Die hier gegebene Folge kannst du ein paar Folgenglieder

ausrechnen und vermutest sicher schnell, dass die

Folge monoton fallend ist und √2 eine

untere Schranke ist.

Beweis findest du hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren#Konvergenz