Monotonie bei Folge mit Wurzel

Question

Text erkannt:

\( (\sqrt{19(n+5)}-\sqrt{19} n) \)

Text erkannt:

b) \( (\sqrt{19(n+5)}-\sqrt{19} n) \)
1. Monatonie bestimmen:
\( \begin{aligned} & (\sqrt{19(n+5)}-\sqrt{19} n) \\ = & \sqrt{19(n+5)}-\sqrt{19} n \cdot \frac{\sqrt{19(n+5)}+\sqrt{19 n}}{\sqrt{19(n+5)}+\sqrt{19 n}} \\ = & \frac{19(n+5)}{\sqrt{19(n+5)}+\sqrt{19} n} \\ = & \frac{19 n+95-19 n}{\sqrt{19(n+5)}+\sqrt{19} n}=\frac{95}{\sqrt{19(n+5)}+\sqrt{19 n}} \end{aligned} \)

Guten Abend

Ich habe die obere Folge bereits umgeformt, doch habe leider Schwierigkeiten die Monotonie zu beweisen. Wie kann ich vorgehen?

LG

Answer 1

Es gilt folgende Rechenregel: Für positive reelle a und \(0<x<y\) gilt

$$\frac{a}{y}<\frac{a}{x}$$

In Worten: Wenn man in einem Bruch den Nerner vergrößert, wird der Bruch kleiner. Wenn Du also in Deinem umgeformtem Bruch n durch n+1 ersetzt, wird der Nenner größer, der Bruch also kleiner. D.h. Deine Folge ist monoton fallend.