Homomorphismen: Zwei Körper mit Verknüpfungen?

Question

Hier die Aufgabe:

Seien K,K' zwei Körper mit entsprechenden Verknüpfungen und φ: K→K' ein Körperhomomorphismus.

Zeigen Sie:

Wenn φ nicht injektiv ist, dann ist φ der Nullhomomorphismus, d.h. φ(x)=0 für jedes Element x∈K.

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Ich weiß nicht wie ich das Zeigen soll. Hoffe Ihr könnt mir helfen. !!!

Answer 1

Seien K,K' zwei Körper mit entsprechenden Verknüpfungen und φ: K→K' ein Körperhomomorphismus.

Zeigen Sie:

Wenn φ nicht injektiv ist, dann ist φ der Nullhomomorphismus, d.h. φ(x)=0 für jedes Element x∈K.

ich schreib mal f statt phi

f nicht injektiv heißt, es gibt a,b aus K a ungleich b unf f(a) = f(b)

also  f(a) - f(b) = 0 ( in K ' )

also f(a - b ) = 0     wegen Hom.

aber da a ungleich b ist, gibt es also ein Element y ungleich Null

( das y ist nämlich gerade a-b ) dessen Bild = 0 ist.

Da y nicht Null ist, besitzt es in K ein Inverses bzgl. der Multiplik. ich nenn das mal Y

Sei nun x aus K, dann gilt  x = x * 1 = x * ( y * Y )

also f(x) = wegen Hom !

=     f (x) * f ( y * Y ) = wieder Hom

= f(x) * ( f(y) * f(Y) )

= f(x) * ( 0 * f(Y) )

= f(x) * 0

= 0