Nachweisen, dass die definierten Verknüpfungen beide Anforderungen erfüllen.

Question

Sei (R,+,·) ein Ring mit Eins und X eine Menge. Definieren Sie auf der Menge Abb (X, R) derAbbildungen X→ Reine Addition⊕und eine Multiplikation ʘ derart, dass gilt:

•(Abb(X, R),⊕,ʘ) ist ein Ring mit Eins und

•die Abbildung γ: R→Abb(X, R), die jedes Element r∈R auf die konstante Abbildung x ↦R raus Abb(X, R) schickt, definiert einen Homomorphismus (R,+,·)→(Abb(X, R),⊕,ʘ )von Ringen mit Eins.

Weisen Sie nach, dass die von Ihnen definierten Verknüpfungen beide Anforderungen erfüllen.

Wir haben zur reinen Übung Muster Aufgaben bekommen, die wir lösen können, da ich aber noch bei dem Thema struggle, wäre es Toll, wenn das jmd. mit einem lösungsweg darstellen und herleiten könnte für mich, damit ich weiß wie ich bei solchen Aufgaben vorgehen kann.

Answer 1

Hallo,

das liest sich nur etwas geheimnisvoll. Es geht einfach um folgende Definition für \(f,g \in Abb(X,R)\)

$$\forall x \in X: f \oplus g(x):=f(x)+g(x)$$ Beachte, dass ja f(x) und g(x) Ringelemente sind, für die die die Ring-Addition + definiert ist.

$$\forall x \in X: f \odot g(x):=f(x) \cdot g(x)$$ Beachte, dass ja f(x) und g(x) Ringelemente sind, für die die die Ring-Multiplikation \(\cdot\) definiert ist.

Das Nachweisen der Ring-Eigenschaften ist jetzt eine einfache Schreibarbeit: Schreibe jede Eigenschaft für die Operationen \(\oplus, \odot\) auf, schreibe sie mit der angegebenen Definition um und verwende die Eigenschaften von R...

Gruß Mathhilf