Ich möchte folgendes zeigen.
Sind φ : R -> S und ψ : S -> T Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderausführung $$ψ \circ φ : R \rightarrow T$$ ein Ringhomomorphismus.
Ich beziehe mich dabei auf folgende Definition:$$ \text{Es seien R und S Ringe. Eine Abbildung} \\\varphi : R \rightarrow S \text{ heißt Ringhomomorphismus, falls für je zwei a,b ∈ R gilt:} $$ $$ \varphi (a+b) = \varphi(a) + \varphi(b) \text{ und } \varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b) $$
Beweis:
Seien a,b ∈ R.Dann gilt für die beiden Abbilungen φ und ψ
$$ \psi \circ \varphi(a+b) \ = \ \psi(\varphi(a+b)) \ \overset{(Def.)}{=} \ \psi(\varphi(a)+\varphi(b)) \ \overset{(Def.)}{=} \ \psi(\varphi(a))+\psi(\varphi(b)) $$ und
$$ \psi \circ \varphi(a \cdot b) \ = \ \psi(\varphi(a \cdot b)) \ \overset{(Def.)}{=} \ \psi(\varphi(a) \cdot \varphi(b)) \ \overset{(Def.)}{=} \ \psi(\varphi(a)) \cdot \psi(\varphi(b) $$
Somit wurde gezeigt, dass diese Hintereinanderausführung ein Ringhomomorphismus ist.
