Funktionen und Abbildungen hintereinander ausführen.

Question

Aufgabe:

a)

Bestätige für allgemeine Funktionen: Wenn f(x) und g(x) Funktionen sind dann ist es auch für

1) f*g

2) f hintereinanderausführung g

b)Angenommen man würde für f hintereinanderausführung g für zwei Abbildungen, welche keine Funktionen sind, analog zur "Funktionendefinition" von f hintereinanderausführung g definieren - wie würde diese Definition lauten? Wenn f ung g keine Funktionen sind. Ist dann f hintereinanderausführung g auch keine Funktion?

Problem/Ansatz:

Ich hab bei a) geschrieben, es ist eine Funktion da, das Ergebnis also die neue Funktion wieder pro X genau einen Y Wert hat und somit eine Funktion ist. Definitionsmenge ist der Durchschnitt aus D(f) und D(g) -

Das sollte so passen oder?

Meine Frage war zu b wie man herausfinden kann ob das Ergebnis keine Funktion ist.

Comments

Abbildungen, welche keine Funktionen sind

Was soll das sein? Üblicherweise sind die Wörter Abbildung und Funktion Synonyme.

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Das konnte ich auch nicht ganz aus der Angabe entnehmen

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Das wird auch nicht aus der "Angabe" entnommen, sondern aus der

Definition (Abbildung). Eine Abbildung von einer Menge $M$ in eine Menge $N$ ist ...

die irgendwo in deinen Unterlagen zu finden sein sollte.

Answer 1

a) ist OK.

Für b)   (Verkettung von Relationen, die keine Funktionen sind)

siehe dort (letzter Punkt von 4.1 )

http://www.informatik.uni-leipzig.de/~brewka/papers/TheorieI4-6.pdf

Wenn du also (bei geeigneten Def. und Zielbereichen) zwei Funktionen

f :A → B  und g : C → D  hast, und willst zeigen, dass f o g auch eine Funktion ist, dann vielleicht so:

Sei x ∈ C. Dann ist g(x) eindeutig bestimmt, da g eine Funktion ist.

Ist nun g(x) ∈ A  [ anderenfalls ist eben (f o g )(x) nicht definiert.]

dann ist (f o g )(x) = f (  g(x) )  auch wieder eindeutig bestimmt, da g

eine Funktion ist.

Also ist f o g eine Funktion deren Defbereich das

g-Urbild des Durchschnitts von A mit dem Bildbereich von g ist, also

g^(-1) ( A ∩ g(C) ) .

Answer 2

Ich hab bei a) geschrieben, es ist eine Funktion da, das Ergebnis also die neue Funktion wieder pro X genau einen Y Wert hat und somit eine Funktion ist.

Passt so.

b) Sei

        $f=\left(\mathbb{R}\times\left\{ 0\right\} \right)\cup\left\{ \left(1,1\right)\right\}$

und

    $g = \left(\mathbb{R}\setminus\left\{ 0,1\right\} \right)^{2}\cup\left\{ \left(0,0\right),\left(1,0\right)\right\}$.

Dann ist

        $g\circ f\coloneqq\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2|\exists r\in\mathbb{R}:\left(x,r\right)\in f\wedge\left(r,y\right)\in g\right\}$

eine Funktion, aber weder $g$, noch $f$ sind Funktionen.