Funktionen und Abbildungen hintereinander ausführen.

Question

Aufgabe:

a)

Bestätige für allgemeine Funktionen: Wenn f(x) und g(x) Funktionen sind dann ist es auch für

1) f*g

2) f hintereinanderausführung g

b)Angenommen man würde für f hintereinanderausführung g für zwei Abbildungen, welche keine Funktionen sind, analog zur "Funktionendefinition" von f hintereinanderausführung g definieren - wie würde diese Definition lauten? Wenn f ung g keine Funktionen sind. Ist dann f hintereinanderausführung g auch keine Funktion?

Problem/Ansatz:

Ich hab bei a) geschrieben, es ist eine Funktion da, das Ergebnis also die neue Funktion wieder pro X genau einen Y Wert hat und somit eine Funktion ist. Definitionsmenge ist der Durchschnitt aus D(f) und D(g) -

Das sollte so passen oder?

Meine Frage war zu b wie man herausfinden kann ob das Ergebnis keine Funktion ist.

Comments

Abbildungen, welche keine Funktionen sind

Was soll das sein? Üblicherweise sind die Wörter Abbildung und Funktion Synonyme.

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Das konnte ich auch nicht ganz aus der Angabe entnehmen

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Das wird auch nicht aus der "Angabe" entnommen, sondern aus der

Definition (Abbildung). Eine Abbildung von einer Menge \(M\) in eine Menge \(N\) ist ...

die irgendwo in deinen Unterlagen zu finden sein sollte.

Answer 1

a) ist OK.

Für b)   (Verkettung von Relationen, die keine Funktionen sind)

siehe dort (letzter Punkt von 4.1 )

http://www.informatik.uni-leipzig.de/~brewka/papers/TheorieI4-6.pdf

Wenn du also (bei geeigneten Def. und Zielbereichen) zwei Funktionen

f :A → B  und g : C → D  hast, und willst zeigen, dass f o g auch eine Funktion ist, dann vielleicht so:

Sei x ∈ C. Dann ist g(x) eindeutig bestimmt, da g eine Funktion ist.

Ist nun g(x) ∈ A  [ anderenfalls ist eben (f o g )(x) nicht definiert.]

dann ist (f o g )(x) = f (  g(x) )  auch wieder eindeutig bestimmt, da g

eine Funktion ist.

Also ist f o g eine Funktion deren Defbereich das

g-Urbild des Durchschnitts von A mit dem Bildbereich von g ist, also

g^(-1) ( A ∩ g(C) ) .

Answer 2

Ich hab bei a) geschrieben, es ist eine Funktion da, das Ergebnis also die neue Funktion wieder pro X genau einen Y Wert hat und somit eine Funktion ist.

Passt so.

b) Sei

        \(f=\left(\mathbb{R}\times\left\{ 0\right\} \right)\cup\left\{ \left(1,1\right)\right\} \)

und

    \(g = \left(\mathbb{R}\setminus\left\{ 0,1\right\} \right)^{2}\cup\left\{ \left(0,0\right),\left(1,0\right)\right\}\).

Dann ist

        \(g\circ f\coloneqq\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2|\exists r\in\mathbb{R}:\left(x,r\right)\in f\wedge\left(r,y\right)\in g\right\} \)

eine Funktion, aber weder \(g\), noch \(f\) sind Funktionen.