Die quadratische Funktion f(x)=x2 ist nicht injektiv auf ℝ, denn jedem x wird der gleiche Funktionswert wie −x zugeordnet. Schränkt man den Definitionsbereich von f auf das Intervall [0,∞[ ein, so ist die Funktion auf diesem Intervall injektiv.
Die Injektivität hängt also vom Definitionsbereich der Funktion ab.
Eine Funktion ist injektiv genau dann, wenn $$\forall x_1, x_2 \ : \ f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$$ Eine äquivalente Formulierung ist $$x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$$
Wir haben folgendes: $$2\neq -3 \Rightarrow f(2)=0=f(-3)$$ Daher ist die Funktion f(x)= (x-2)(x+3) nicht injektiv auf ℝ. Schränkt man den Definitionsbereich von f auf das Intervall [-0,5, ∞) dann haben wir folgendes:
Eine stetige reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall ist genau dann injektiv, wenn sie in ihrem ganzen Definitionsbereich streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist.
Wir brauchen also die erste Ableitung der Funktion f(x): $$f'(x)=\left(x^2+x-6\right)'=2x+1$$
Die Nullstelle der erste Ableitung ist x=-0,5. Im Intervall [-0.5, ∞) ist die erste Ableitung größer oder gleich Null, die Funktion f(x) ist in diesem Intervall also monoton steigend und im Intervall (-0.5, ∞) streng monoton steigend.
Streng monoton steigeng bedeutet dass wenn x<y dann f(x)<f(y).
Wir wollen prüfen ob die Funktion auch im Intervall [-0.5, ∞) streng monoton steigend ist.
Sei y=-0,5+h, mit h>0. Wir haben folgendes: $$f(-0,5+h)=(-0,5+h)^2+(-0,5+h)-6 \\ =(-0,5)^2+2(-0,5)h+h^2+(-0,5)+h-6 \\ =((-0,5)^2+(-0,5)-6)+2(-0,5)h+h^2+h \\ =f(-0,5)+2(-0,5)h+h^2+h \\ =f(-0,5)-h+h^2+h \\ =f(-0,5)+h^2 \\ >f(-0,5)$$
Die Funktion f(x) ist also Intervall [-0.5, ∞) streng monoton steigend. Davon folgt es dass die Funktion in diesem Intervall injektiv ist.
