Stetigkeit und Surjektivität, Injektivität nachweisen

Question

Aufgabe:

1. Untersuchen Sie, ob die Funktion f : ℝ → ℝ mit f(x) = 2x + |x| bijektiv ist.

2. Es sei q(x) := (-x) * (x - 2) für x ≥ 0 und x * (x + 2) für x < 0.

  a) Beweisen Sie, dass q in ℝ stetig ist.

  b) Zeigen Sie, dass q : [-1, 1] → [-1, 1] surjektiv ist.

Problem/Ansatz:

zu 1.:

Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

  - injektiv: a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f(b). Daraus folgt per Kontraposition: f(a) = f(b) ⇒ a = b
  Sei f(a) = f(b). Dann: 2a + |a| = 2b + |b|
  Falls a, b ≥ 0: 2a + a = 2b + b
  ⇒ 3a = 3b
  ⇒ a = b
  Falls a ≥ 0, b < 0: 2a + a = 2b - b
  ⇒ 3a = b
  Folgt hier nicht schon, dass f(x) nicht injektiv ist?

  - surjektiv: ∀y∈ℝ. ∃x∈ℝ. f(x) = y
  Sei x∈ℝ. Dann: f(x) = y
  ⇒ 2x + |x| = y
  Falls x ≥ 0: 2x + x = y
  ⇒ 3x = y
  ⇒ x = y/3
  Falls x < 0: 2x - x = y
  ⇒ x = y
  Da y/3, y ∈ℝ ist f(x) surjektiv.

zu 2.:

a)
(-x) * (x-2) = c und x * (x + 2) = x² + 2x
Wir haben einen Satz, der besagt, dass jede rationale Funktion in ihrem Definitionsbereich stetig ist. Reicht das hier nicht schon als Begründung?

b)
surjektiv: ∀y∈ℝ. ∃x∈ℝ. f(x) = y
  Sei x∈ℝ. Dann: f(x) = y
  Falls x ≥ 0: -x² + 2x = y
  ⇒ -x² = y - 2x
  ⇒ x² = -y + 2x
  Wie kann ich hier das x² zu einem x umformen?
  Durch x teilen darf ich nicht, weil x = 0 sein könnte und die Wurzel kann ich nicht ziehen, da sie auf der linken Seite negativ sein könnte.
  Falls x < 0: x² + 2x = y
  ⇒ x² = y - 2x     | : x
  ⇒ x = y/x - 2x/x
  ⇒ x = y/x - 2

Ich würde mich für jede Hilfe freuen!

Answer 1

Falls a ≥ 0, b < 0: 2a + a = 2b - b
  ⇒ 3a = b
  Folgt hier nicht schon, dass f(x) nicht injektiv ist?

Nein, denn 3a=b ist für a ≥ 0, b < 0 nicht möglich

Sieht auch recht bijektiv aus:

~plot~ 2*x+abs(x) ~plot~

.Wir haben einen Satz, der besagt, dass jede rationale Funktion in ihrem Definitionsbereich stetig ist. Reicht das hier nicht schon als Begründung?

Nein, nicht ganz. Hier sind ja zwei Funktionen aneinandergefügt.

An der Schnittstelle x=0 musst du es noch extra untersuchen .

Comments

Falls a ≥ 0, b < 0: 2a + a = 2b - b
  ⇒ 3a = b ist wie du richtig erkannt hast nicht möglich. Bedeutet das, dass dieser Fall aussagelos ist?
Dann würde ich noch die drei anderen Fälle durchgehen, korrekt?

Wie untersuche ich die Funktion denn dann auf Stetigkeit?

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entweder nach den Sätzen:

rationale Funktionen und auch Betragsfunktion sind stetig

auf ihrem Def.Bereich.

oder durch aufteilen  für  x<0 und x≥0 .

Und dann schauen, ob an der Flickstelle x=0

Stetigkeit vorliegt.

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Dafür nähere ich mich einmal aus dem Bereich > 0 und einmal aus dem Bereich < 0, falls ich das richtig verstehe. Aber wie schreibt man das mathematisch korrekt auf?

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oder du machst es mit der ε-δ Definition. Das finde ich persönlich einfacher:

Stetigkeit bei x=0:   Vorüberlegung:

q(x) := (-x) * (x - 2) für x ≥ 0 und x * (x + 2) für x < 0.

Für  x ≥ 0 und x<2 gilt | (-x) * (x - 2)| =  | x| * | x - 2| <  | x| * 2

und  für x < 0 und x>-2 gilt | x * (x +2)| =  | x| * | x + 2| <  | x| * 2

also für alle x mit |x|<2 jedenfalls |q(x)| < 2*|x|.      #

 Sei ε>0. Dann gilt q(0)=0  und es gilt für alle x mit |x|<2

| q(x) - q(0) | = | q(x) |  < 2*|x|

Und damit dies kleiner ε ist, muss nur |x| < ε/2 gelten.

Also gilt für δ = min ( 2 ;  ε/2 )

[ Die 2, weil # ja nur für |x|<2 gilt ]

|x-0|=|x|  <  δ   ==>   | q(x) - q(0) | <  ε .

Es gibt also zu jedem ε >0 so ein δ, also ist q stetig bei x=0.

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Danke für diese ausführliche Antwort, die hat mir geholfen!