Bruchgleichung: x/(x-1) + 2/(x-2) = 1/(x-1) + x/(x-2) TRUE interpretieren.

Question

Quadratische Gleichung und Ergänzung: x/(x-1) + 2/(x-2) = 1/(x-1) + x/(x-2) TRUE interpretieren und Lösungsmenge ändern. 

Tippen Sie diese Gleichung (siehe Blatt) in den Rechner ein und erklären Sie das Ergebnis (auch das des gelben Dreiecks) an Hand einer Rechnung auf Papier. Verändere die Gleichung so, dass die Lösungsmenge leer ist und so dass die Lösungsmenge genau ein Element enthält.

Achtung: Definitionsbereich des Ergebnisses kann größer sein als der der Eingabe.

Answer 1

Hauptnenner bilden, dann die Zähler gleichsetzen.

HN = (x-1)(x-2)

--> x(x-2) +2(x-1)= x-2+x*(x-1)

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Comments

Danke. Und dann?

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Du musst das nur noch ausrechnen. Klammern auflösen, zusammenfassen, ...

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Ich habe nun dieses Ergebnis raus. Ich kann aber kein Bezug zur Aufgabenstellung nehmen?

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@Mathecouch können Sie mir helfen?

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D = R\{1;2}

L = D

Auf beiden Seiten steht das Selbe. Die Gleichung ist also immer wahr, d.h. für alle x aus D erfüllt. 

0=0 ,wenn du auf beiden Seiten x^2-2 abziehst.

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Danke dir vielmals! Kannst du vielleicht meine Aufgabenstellung oben nochmal lesen? Da ist auch eine Frage wegen diesem gelben Ausrufezeichen, was bedeutet der?

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Achso und ich soll die Gleichung so umändern dass am Ende die Lösungsmenge leer ist und so umändern dass es genau eine Lösung gibt. Wie geht das?

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Der Definitionsbereich der Brüche ist nicht ganz R.

In der Lösung aber kann man ganz R einsetzen. Nur ist die Aufgabe nicht für ganz R definiert wegen der Brüche.

Daher gilt: L = D, nicht L=R

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Achso und ich soll die Gleichung so umändern dass am Ende die Lösungsmenge leer ist und so umändern dass es genau eine Lösung gibt. Wie geht das?

Answer 2

Korrigierte Version deiner Fragestellung.

Bruchgleichung: Lösungsmenge und Definitionsbereich :

x/(x-1) + 2/(x-2) = 1/(x-1) + x/(x-2) TRUE interpretieren und Lösungsmenge ändern.

Achte auf korrekte Fachbegriffe bei euren Themen.

Quadratische Gleichung und Ergänzung: 

Bei quadratischen Gleichungen ist der Definitionsbereich selten ein grosses Problem.

x/(x-1) + 2/(x-2) = 1/(x-1) + x/(x-2)  | Bruchaddition

(x(x-2) + 2(x-1)) / ((x-1)(x-2)) = (1(x-2) + x(x-1)) / ((x-1)(x-2) )

(x^2 - 2x + 2x-2) / ((x-1)(x-2)) = (x-2 + x^2-x)) / ((x-1)(x-2) )

(x^2 - 2) / ((x-1)(x-2)) = (x^2-2) / ((x-1)(x-2) )

Das ist zwei mal derselbe Term. Daher besteht die Lösungsmenge aus allen Elemente des Definitionsbereichs. Taschenrechner kommentiert das mit TRUE.

D.h. L = ℝ \ {1,2} 

und dafür sorgen, dass L = { } leere Menge

Ansatz 0 = 1     | links und rechts dasselbe addieren

(x^2 - 2) / ((x-1)(x-2)) = (x^2-2) / ((x-1)(x-2) ) + 1     | zurückverwandeln in die gegebenen Bruchterme

x/(x-1) + 2/(x-2) = 1/(x-1) + x/(x-2)  + 1 

Diese Bruchgleichung hat die Lösungsmenge  L = { } leere Menge