Berechnung von partiellen Ableitungen

Question

Sei ξ ∈ ℂ^N , s ∈ ℝ und i ∈ {1,2,...,N}. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen

δ/(δx_i) e^{ξ•x} und δ/(δx_i)  |x|^s für x ∈ ℝ^N 

(mit Skalarprodukt • und 2-Norm/Betrag |•| auf ℝ^N , im Fall s ≤ 0 natürlich nur für x ≠ 0)

Answer 1

Hi,
zu (1)
$$ \frac{\partial}{\partial x_l} e^{\xi \cdot x } = \frac{\partial}{\partial x_l} \left( e^{\sum_{i=1}^n \xi_i x_i} \right) = \xi_l \ x_l \ e^{\xi \cdot x }   $$

Zu (2)
$$ \frac{\partial}{\partial x_l} \| x \|^s = \frac{\partial}{\partial x_l} \left( \sqrt{ \sum_{i=1}^n x_i^2 } \right)^s = s \left( \sqrt{ \sum_{i=1}^n x_i^2 } \right)^{s-1} \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{ \sum_{i=1}^n x_i^2 }} 2 x_l = \\ s \| x \|^{s-2} x_l $$