Berechnen Sie für die Funktion, die partiellen Ableitungen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie für die Funktion
\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{3} y-x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { falls }(x, y) \neq(0,0), \\ 0, & \text { sonst, } \end{array}\right. \)
die partiellen Ableitungen \( \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \) und \( \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \) für \( x, y \in \mathbb{R} \) sowie \( \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(0,0) \) und \( \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(0,0) \).

Problem/Ansatz:

Die ersten zwei Ableitung sind bereits fertig, meine Probleme sind bei den gemischten partiellen Ableitungen, ich weiß das ich bei ersterem erst nach x und dann nochmal nach y (beim anderen umgekehrt) partiell ableite, aber ich verstehe die Bedingungen (0,0) in diesem Zusammenhang leider nicht.

Answer 1

Hallo,

du hast etwa

\( \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(h,0) - \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{h} = 1\),

wobei du die letzte Gleichheit leicht ausrechnest. \(\left(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(0,h) - f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} 0 = 0 \right) \)

Comments

Danke schonmal, aber könntest du mir den Schritt in der letzten Gleichheit erklären der macht mir etwas Probleme.

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Was genau macht dir Probleme?

Um \( \frac{\partial f}{\partial y}(h,0) \) zu berechnen, setzt du einfach in deine bisherigen Ergebnisse ein.

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Ah, okay da hab ich irgendwie nicht drüber nachgedacht, muss ich jetzt weiter machen und für x das gleiche machen?

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Was meinst du mit "für x"? Du solltest konkretere Fragen stellen oder deine Probleme konkreter formulieren.

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Du hast ja den ursprünglichen Ausdruck aufgteilt:

 \( \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(0,0)\), muss ich mit dem Teil mit der partiellen Ableitung nach x noch was machen?

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Das steckt ja im zweiten Schritt drin.

Beachte, dass \( \frac{\partial f}{\partial y}\) wieder eine Abbildung von \(\mathbb{R}^2\) nach \(\mathbb{R}\) ist (dass sie existiert hast du in einem ersten Schritt ja schon gezeigt). Du setzt diese Abbildung also einfach in die Definition der partiellen Ableitung nach \(x\) ein.

Allgemein berechnest du für \(g\,:\, \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) die partielle Ableitung nach \(x\) an der Stelle \((0,0)\) ja durch \( \lim_{h\to 0}\frac{g(h,0)-g(0,0)}{h} \) (falls der Grenzwert existiert).

Ich habe den Ausdruck übrigens nicht willkürlich aufgeteilt. So sind höhere partielle Ableitungen ja gerade definiert.