Aloha :)
Wir schreiben die Abbildung mit Hilfe einer Matrix:$$\begin{pmatrix}a+b\\a+c\\d\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}}_{\eqqcolon A}\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}$$
An der Matrix erkennt man sofort den Rang \(3\), denn die Spaltenvektoren \(2\), \(3\) und \(4\) entsprechen den Standard-Basisvektoren der \(\mathbb R^3\) und der erste Spaltenvektor hängt linear von diesen ab. Er ist die Summe von Spalte \(2\) und Spalte \(3\).
Allgemein gilt:
(1) Rang = Spalten-Anzahl \(\quad\implies\quad\) Abbildung ist injektiv.
(2) Rang = Zeilen-Anzahl \(\;\;\quad\implies\quad\) Abbildung ist surjektiv.
Daher ist diese Abbildung nicht injektiv, aber surjektiv.
