Zeigen Z x R Ringe bezüglich Addition und Multiplikation sind. Sind die Abbildungen Ringhomomorphismen?

Question

$$\text{ Es sei R ein Ring. Zeigen Sie, dass }$$

$$\mathbb{Z}×R=\left\{(m,r):m\in\mathbb{Z}, r\in R\right\}$$

$$\text{ ein Ring bezüglich der durch die Formeln }$$

$$(m_{1},r_{1})+(m_{2},r_{2}):=(m_{1}+m_{2},r_{1}+r_{2})$$

$$(m_{1},r_{1})*(m_{2},r_{2}):=(m_{1}m_{2},m_{1}r_{2}+m_{2}r_{1}+r_{1}r_{2})$$

$$\text{ definierten Addition und Multiplikation ist. Hier ist }$$

mr = r + ... + r,          nr = -r + ... + (-r)

           m - mal                     (-n) - mal

für m >= 0 und n <= 0 .) Sind die Abbildungen f_1 : Z x R → Z   , f_2 : Z x R → R

mit f_1(m,r) = m , f_2(m,r) = r Ringhomomorphismen?

Answer 1

Da musst du die Ringaxiome prüfen:

1. Abgeschlossen: Sind für alle (m,r) und (n,s) ∈ ℤxR die Ergebnisse

von (m,r)+(n,s)  und von (m,r) * (n,s) wieder in ℤxR .

Ist so , kannst du auf die Def'en und die Abgeschlossenheite von ℤ und R

zurückführen.

+ und * sind  assoziativ:  Zeige für alle (m,r) , (n,s) und (p,t)  ∈ ℤxR

((m,r) + (n,s) )   +   (p,t) = (m,r) + ((n,s)  + (p,t) )

und  ((m,r) * (n,s) )  *  (p,t) = (m,r) * ((n,s)  * (p,t) )  etc.

neutral bzgl + ist (0,0) und bzgl * ist es (1 , 0) denn

(1,0) * ( m,r) = ( 1·r , 1·m + m·0 + 0·r)

                  = ( m , r)   etc.