Aloha :)
Da über die \(z\)-Koordinate des Weges nichts bekannt ist, gehe ich davon aus, dass der Weg \(C\) eine Ellipse innerhalb der \(xy\)-Ebene mit \(z=0\) ist:$$C=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\,\bigg|\,\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\;;\;z=0\right\}$$
Für den Ortsvektor \(\vec r\) zum Abtasten dieses Weges \(C\) wählen wir die Parametrisierung$$\vec r=\begin{pmatrix}2\cos t\\3\sin t\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$
Das Kurvenintegral sieht nun so aus:$$I=\int\limits_C\vec w\,d\vec r=\int\limits_0^{2\pi}\vec w\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_0^{2\pi}\begin{pmatrix}3\sin t\cdot e^{2\cos t}+e^{3\sin t}\\e^{2\cos t}+2\cos t\cdot e^{3\sin t}\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\sin t\\3\cos t\\0\end{pmatrix}dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^{2\pi}\left(-6\sin^2 t\, e^{2\cos t}-2\sin t\,e^{3\sin t}+3\cos t\,e^{2\cos t}+6\cos^2 t\, e^{3\sin t}\right)dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^{2\pi}\left((-6\sin^2 t\, e^{2\cos t}+3\cos t\,e^{2\cos t})+(6\cos^2 t\, e^{3\sin t}-2\sin t\,e^{3\sin t})\right)dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^{2\pi}\left(\frac{d}{dt}\left(3\sin t\,e^{2\cos t}\right)+\frac{d}{dt}\left(2\cos t\,e^{3\sin t}\right)\right)dt$$$$\phantom{I}=\left[3\sin t\,e^{2\cos t}\right]_0^{2\pi}+\left[2\cos t\,e^{3\sin t}\right]_0^{2\pi}=0-0+2-2=0$$
