Aufgabe:
Berechnen Sie das Doppelintegral \(\int \limits_{D}\cos (y) d(x, y) \) wobei \( D \subset \mathbb{R}^{2} \) das Gebiet ist, das beschränkt ist durch \( y=2 x, y=x \) und \( x \in[\pi, 2 \pi] \).
Problem/Ansatz:
\( \int \limits_{0} \cos (y) d(x, y)=\int \limits_{\pi}^{2 \pi} \int \limits_{x}^{2 x} \cos (y) d y d x \) \( =\int \limits_{\pi}^{2 \pi}[\sin (y)]_{x}^{2 x} d x=\int \limits_{\pi}^{2 \pi}[\sin (x)-\sin (x)] d x \) \( \begin{aligned}=&\left[\frac{-1}{2} \cos (2 x)+\cos (x)\right]_{\pi}^{2 \pi} \\=& \frac{-1}{2} \cos (4 \pi)+\cos (2 \pi)+\frac{1}{2} \cos (2 \pi)-\cos (\pi) \\=& \frac{-x}{2}+1+\frac{1}{2}+1=[2] \end{aligned} \)
Kann mir bitte jemand sagen, ob meine Lösung korrekt ist?
