Ringe. Zeigen sie: f (0R) = 0S

Question

Es seien R und S Ringe und f : R → S ein Ringhomomorphismus. Zeigen die folgende Aussage:  f (0_R ) = 0_S

Answer 1

Es seien R und S Ringe und f : R → S ein Ringhomomorphismus.

Zeigen die folgende Aussage:  f (0_R ) = 0_S    

Nach Def. des Nullelementes in R ist für alle a aus R  a + 0_R = a

Also insbesondere auch  0_R + 0_R =  0_RAlso auch 

f( 0_R ) = f(  0_R + 0_R )    Und da f ein Hom ist 

=  f( 0_R ) + f( 0_R )    .Also kurz   f( 0_R )  = f( 0_R )  + f( 0_R ) 

Da S ein Ring ist, besitzt f( 0_R ) ein additives Inverses - f( 0_R ) .

Wenn man dies auf beiden Seiten von # addiert, hat man

f( 0_R ) +  (-  f( 0_R )) = ( f( 0_R )  + f( 0_R )  ) + ( - f( 0_R ) )   also 

nach Def. des Inversen

0_S =   ( f( 0_R )  + f( 0_R )  ) + ( - f( 0_R ) )    Da + assoziativ ist


0_S =   f( 0_R )  +  ( f( 0_R )   + ( - f( 0_R ) )   Und wieder Def. des Inv

0_S =   f( 0_R )  +  0_S   und nach Def. des 0-Elementes

0_S =   f( 0_R )