R1 und R2 - Binärrelationen (nicht leere Menge). R1 ∪ R2 transitiv widerlegen.

Question

R1 und R2 - Binärrelationen (nicht leere Menge)

1. Widerlegen Sie folgende Behauptung:

Falls R1 und R2 transitiv sind, so ist auch R1 ∪ R2 transitiv.

2. Beweisen Sie folgende Behauptung:

Falls R1 nicht reflexiv ist oder R2 nicht reflexiv ist, so ist auch R1 ∩R2 nicht reflexiv.

Answer 1

Nimm z.B. für R1 die kleiner-Relation auf Q, also alle Paare (a,b) von QxQ mit a<b
                und für R2 die größer- Rel.
Die sind beide tarnsitiv   a<b   und b<c  folgt a<c und bei größer auch.

aber die Vereinigung sind alle Paare aus QxQ ohne die mit zwei gleichen Komponenten

nun ist aber   (0,1) aus der Vereinigung, (o,1) aus R1
                  und (1,0) aus der Vereinigung, (1,0) aus R2
dann müsste bei Transitivität auch (o,o) drin sein, ist es aber nicht.


Falls R1 nicht reflexiv ist oder R2 nicht reflexiv ist

so gibt es ein Paar (x,x),das nicht in R1 oder nicht in R2 ist,

damit ist dieses Paar auch nicht in R1 ∩R2

so ist auch R1 ∩R2 nicht reflexiv.