Basis eines Vektorraums prüfen

Question

folgende Frage:

Es sei (w 1 , w 2 , w 3 ) eine Basis eines K-Vektorraums V . Untersuchen Sie, ob auch
(1) das System (w 1 , w 1 − w 2 , w 1 + w 2 + w 3 ) eine Basis von V ist,
(2) das System (w 1 + w 2 , w 2 + w 3 , w 3 − w 1 ) eine Basis von V ist.
Bestimmen Sie in jedem Fall die Dimension des Spanns dieses Systems.

So habe ich es aufgeschrieben:

λ₁ ⋅ w₁ + λ₂ (w₁ - w₂) + λ₃ (w₁ + w₂ +w₃) ⇔
λ₁ ⋅ w₁ + λ₂ ⋅ w₁ - λ₂ ⋅ w₂ + λ₃ ⋅ w₁ + λ₃ ⋅ w₂ + λ₃ ⋅ w₃

Wie mach ich jedoch weiter?

Danke für die Hilfe.

Answer 1

erstmal ist der Äquivalenzpfeil so nicht angebracht, da du nur 2 Terme und nicht 2 Gleichungen/Behauptungen da stehen hast.

Was hier fehlt ist am Ende immer ein "=0"

Was du tun sollst:

Ordne die linke Seite der Gleichung nach deinen w1, w2, und w3 so dass du die Form

aw1 + bw2 + cw3 = 0 hast

da du weißt das w1 bis w3 linear unabhängig sind muss gelten

a = 0

b = 0

c = 0

du kriegst ein LGS, wenn dies eine eindeutige Lösung hat so sind deine neuen Basisvektoren ebenfalls linear unabhängig, wenn Sie unendlich Lösungen hat dann nicht, denn dann kannst du einen der drei Vektoren durch linear Kombination der anderen beiden Vektoren darstellen.

Gruß

Comments

Brauche ich für ein LGS nicht mindestens drei Gleichungen?
Bzw. wie kann ich aus folgendem ein LGS aufstellen?:
λ₁ ⋅ w₁ + λ₂ (w₁ - w₂) + λ₃ (w₁ + w₂ +w₃)

Oder werden die übrigen zeilen mit 0 gefüllt?

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Das sind drei Gleichungen. Anscheinend war es nicht verständlich genug,

Bringe die Gleichung auf die Form \(aw_1+bw_2+cw_3 = 0\)

λ₁ ⋅ w₁ + λ₂ (w₁ - w₂) + λ₃ (w₁ + w₂ +w₃) = 0 <- Das meinte ich mit du hast "=0" vergessen....

Würde ja dann so aussehen:

$$ (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3)w_1 +(\lambda_3-\lambda_2)w_2 + \lambda_3 w_3 = 0 $$

und jetzt gehst du weiter so vor, wie ich dir beschrieben habe....das LGS in diesem Fall ist echt keine harte Nuß

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Dankeschön, jetzt bin ich auch darauf gekommen :)
Eine Frage hätte ich aber noch.
Des Weiteren steht dort, ich solle die Dimension des Spanns finden. Ich hab aber doch keine Matrix, oder?

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Die Dimension ist die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren.

Answer 2

Eine alternative Vorgehensweise ist zu zeigen, dass du aus den Linearkombinationen von (v1 = w 1 ,v2 =( w 1 − w 2 ),v3 = (w 1 + w 2 + w 3) ) die Vektoren  (w 1 , w 2 , w 3 ) darstellen kannst, also z.B. w 2 =  v1 - v2.

Wenn das mit w1 und w3 auch klappt ist es eine Basis, da du die andere Basis damit darstellen kannst und sie gleich viele Vektoren haben.