Basis eines Vektorraums entscheiden: {v1, v2} = { (1|2), (a|1) } ,... a€R, a≠ 1/2

Question

Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabenstellung:

Wie genau muss ich da vorgehen?

Answer 1

Hallo Mathishard,

a)

\(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) ist genau dann ein Vielfaches von \(\begin{pmatrix} α \\ 1 \end{pmatrix}\), wenn α = 1/2 ist 

 →  die beiden Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn α ≠ 1/2 ist.

Wegen dim(ℝ²) = 2 ist  {\(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) , \(\begin{pmatrix} α \\ 1 \end{pmatrix}\)}  also für  α ≠ 1/2  eine Basis von ℝ²  

b) 

Die Determinante der Matrix mit den gegebenen Vektoren als Spaltenvektoren ist                                     -10  ≠  0.  (Edit: statt -5)

→  { v₁ , v₂ , v₃ }  ist linear unabhängig.

Wegen dim(ℝ³) = 3  ist   { v₁ , v₂ , v₃ }   deshalb eine Basis von ℝ³  

Gruß Wolfgang

Comments

Ist die Determinante nicht -10?

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1*3*(-1) + (-1)*1*1 + 3*2*2 - 1*3*3 - 2*1*1 - (-1)*2*(-1)  =  - 5

Mit  - 10 würde sich an den Überlegungen aber auch nichts ändern

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Ist die Matrix nicht :

1   2   1
-1  3   2
3   1  -2

Und aus diesem Grund (1*3*(-2)) ?

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Du hast recht, hatte das falsch abgeschrieben. Ändert aber wie gesagt nichts an den Ergebnissen der Antwort.

Werde es in der Antwort korrigieren.

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Da hast du schon recht. Solange nicht 0 rauskommt, sind die Vektoren linear unabh.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=det+((1+,++2+,++1),(++-1,++3+,++2),(++3,+++1,++-2))