Bestimmen Sie eine Basis von <v1,v2,v3>

Question

Aufgabe:

Wir betrachten den Körper (ℤ/5ℤ, ⊕, ⊙)  und den (ℤ/5ℤ)-Vektorraum V = (ℤ/5ℤ)^2×2. Seien v1, v2, v3 ∈ V wie folgt gegeben:

$$v_1 = \begin{pmatrix} [1]_5 & [2]_5 \\ [3]_5 & [4]_5 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} [3]_5 & [4]_5 \\ [4]_5 & [3]_5 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} [2]_5 & [3]_5 \\ [1]_5 & [1]_5 \end{pmatrix}$$

Bestimmen Sie eine Basis von $$\lang v_1,v_2,v_3\rang$$

Problem/Ansatz:

Ich habe schon rausgefunden, dass die Vektoren linear abhängig sind (die Aufgabe war davor). Jetzt weiß ich allerdings nicht, welche der Vektoren linear abhängig sind. Ich habe keine Linearkombination von 2 der Vektoren gefunden die den dritten ergibt.

Comments

Nach meinen Berechnungen ist \([3]_5\cdot v_1+[3]_5\cdot v_2=v_3\).

Answer 1

Du musst nicht einen der drei Vektoren durch die beiden

anderen darstellen. Da du schon weißt, dass alle 3 linear abhängig sind,

weißt du, dass je zwei unter den Vektoren eine Basis bilden,

wenn sie nicht linear abhängig sind, also weder der eine

ein skalares Vielfaches des anderen, noch jener ein skalares

Vielfaches des ersteren ist. Das trifft z.B. für \(v_1\) und \(v_2\) zu.

Folglich bilden diese eine Basis.