Beweise: Ist v1, v2, v3,...,vn Basis des Vektorraum V, so ist auch v1+v2, v2, v3,...,vn Basis von V

Question

könnt ihr mir mit dem Beweis helfen, vielleicht eine Hilfestellung oder einen Ansatz?!

die Aufgabe sieht so aus:

Beweisen Sie: Ist \( v_{1}, v_{2}, v_{3}, \ldots, v_{n} \) eine Basis eines Vektorraums \( V, \) so ist auch \( v_{1}+v_{2}, v_{2}, v_{3}, \ldots, v_{n} \) eine Basis von V.

Answer 1

Wenn \(v_{1},...,v_{n}\) eine Basis von \(V\) ist, dann ist die Dimension von \(V\) \(n\) (klar?)

D.h. jede Teilmenge linear unabhängiger Vektoren mit \(n\) Elementen ist eine Basis von \(V\) (klar?)

Dann musst du nur zeigen, dass \(v_{1}+v_{2}, v_{2},...,v_{n}\) linea runabhängig sind.

Z.B. mit dem Ansatz \(\lambda_{1}(v_{1}+v_{2})+\sum_{i=2}^{n}{\lambda_{i}v_{i}}=0 \,\Rightarrow\, \lambda_{i}=0\) für alle \(i=1,...,n\)

Comments

ich weiß, dass alle n Vektoren eine Basis des R^n sind. deswegen muss ich nur testen, ob sie linear unabhängig sind.

linear unabhängig bedeutet: v1*a1+v2*a2+...+vn*an = 0  ,a ist ein Element der reellen zahlen.

in dieser aufgabe steht: v1+v2, v2+v3+...+vn ist eine Basis

nach lin unabhänig folgt: (v1+v2) *a1+v2*a2+...+vn*an = 0

bis hier hin habe ich die verstanden, aber weiter leider nicht. ich weiß nicht wie ich diese Zeile umformen muss, damit die lösungen null ergeben.

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die letzte Zeile ist
\(\lambda_{1}(v_{1}+v_{2})+\lambda_{2}v_{2}+....+\lambda_{n}v_{n}=0\)

\(\Leftrightarrow \lambda_{1}v_{2}+\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n}=0\)

\(\Leftrightarrow -\lambda_{1}v_{2}=\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n}\)

Nun sind die einzelnen \(v_{i}\) aber lin. unabhängig (nach Voraussezung), d.h. es gibt 2 möglichkeiten

(i) \(-\lambda_{1}v_{2}=\lambda_{2}v_{2}\) aber das ist Unsinn, da \(v_{1}\) auch mit \(\lambda_{1}\) skaliert ist, dann bleibt nur

(ii) \(\lambda_{1}=0=\lambda_{i}\), also gibt es nur die triviale Darstellung der Null