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bei folgender Aufgabe stehe ich total auf dem Schlauch.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die  x-Achse an der Stelle 4 und hat an der Stelle 8/3 eine Wendestelle. Die Wedetangente hat die Steigung -4/3. Ermitteln Sie den Funktionsterm
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f(x)  =  ax^3   +  bx^2   +cx   +  d
f ' (4)=0 wegen berühren
f(4)=0  weil der Punkt auf der x-Achse liegt
f ' ' (8/3) = 0 wegen wendestelle
und  f ' (8/3) = -4/3   Tangenetnsteigung

Damit schaffst du es


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Also ich habe es versucht aber ich komme einfach nicht weiter :-(

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Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die x-Achse an der Stelle \(x=4\) und hat an der Stelle \(x= \frac{8}{3} \) eine Wendestelle. Die Wendetangente hat die Steigung \(m=-\frac{4}{3}\).

Extrema auf der x-Achse sind doppelte Nullstellen. Nullstellenform

\(f(x)=a(x-4)^2(x-N)\)

...hat an der Stelle \(x= \frac{8}{3} \) eine Wendestelle  → 2.Ableitung

\(f'(x)=a[(2x-8)(x-N)+(x-4)^2\cdot 1]\) 

\(f''(x)=a[2\cdot (x-N)+ (2x-8) \cdot 1 +(2x-8)]=a[6x-2N-16)]\)

\(f''(\frac{8}{3})=a[-2N]=0\)

\(N=0\)

...Die Wendetangente hat die Steigung \(m=-\frac{4}{3}\)  1. Ableitung

\(f'(\frac{8}{3})=a[(\frac{16}{3}-8)\cdot \frac{8}{3} +(\frac{8}{3}-4)^2]\)

\(a[-\frac{16}{3} ]=-\frac{4}{3}\)

\(a=\frac{1}{4}\)

\(f(x)=\frac{1}{4}x(x-4)^2\) 

Unbenannt.JPG

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Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle.

Eigenschaften

f(4) = 0
f'(4) = 0
f''(8/3) = 0
f'(8/3) = -4/3

Gleichungssystem

64·a + 16·b + 4·c + d = 0
48·a + 8·b + c = 0
16·a + 2·b = 0
64/3·a + 16/3·b + c = -4/3

Errechnete Funktion

f(x) = 0,25·x^3 - 2·x^2 + 4·x

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