Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die x-Achse an der Stelle \(x=4\) und hat an der Stelle \(x= \frac{8}{3} \) eine Wendestelle. Die Wendetangente hat die Steigung \(m=-\frac{4}{3}\).
Extrema auf der x-Achse sind doppelte Nullstellen. Nullstellenform
\(f(x)=a(x-4)^2(x-N)\)
...hat an der Stelle \(x= \frac{8}{3} \) eine Wendestelle → 2.Ableitung
\(f'(x)=a[(2x-8)(x-N)+(x-4)^2\cdot 1]\)
\(f''(x)=a[2\cdot (x-N)+ (2x-8) \cdot 1 +(2x-8)]=a[6x-2N-16)]\)
\(f''(\frac{8}{3})=a[-2N]=0\)
\(N=0\)
...Die Wendetangente hat die Steigung \(m=-\frac{4}{3}\) 1. Ableitung
\(f'(\frac{8}{3})=a[(\frac{16}{3}-8)\cdot \frac{8}{3} +(\frac{8}{3}-4)^2]\)
\(a[-\frac{16}{3} ]=-\frac{4}{3}\)
\(a=\frac{1}{4}\)
\(f(x)=\frac{1}{4}x(x-4)^2\)
