Betrachten sie die Vektoren v1=(1,4,3,2), v2=(1,2,3,4) und v3=(1,6,3,0) im R⁴

Question

ich habe Probleme mit diese Aufgabe bitte Helfen sie mir.

Betrachten sie die Vektoren v1=(1,4,3,2), v2=(1,2,3,4) und v3=(1,6,3,0) im R⁴.

a)      Ergaenzen Sie S={v_1,v₂}⊂R⁴ zu einer Basis des R⁴.

b)      Kann man T={v₁,v₂,v₃}⊂R⁴ zu einer Basis Ergaenzen? Betrachten Sie die Polynomialen Funktion

f₁(x)={2x³+3x²+4x+1} , f₂(x)={4x³+3x²+2x+1} und f₃(x)={3x²+6x+1}

c)       Ergaenzen Sie S={f₁,f₂}⊂Pol_<=3(R,R) zu einer Basis von Pol_<=3(R,R)

d)       Geben sie mindestens 2 Isomorphismen von R⁴ nach Pol_<=3(R,R)an

Ich bedanke mich im voraus;)

Mely

Comments

Tipp zu b): v₃ = 2v₁ - v₂.

---

danke für das Kommentar aber das stimmt nicht, da 2v₁ - v₂ = (1,6,6,0) und v₃=(1,6,3,0)

aber danke.

Ich habe alle drei mit dem Gauss Verfahren berechnet, aber habe keine Ahnung, ob ich das ueberhaupt machen musste. am ende kam so etwas wie x₁=-2x₃ , x₂=x₃, x₃=x_3. 

und zu a) habe ich das gleiche gemacht nur noch mit v1 und v2. Dann kriege ich dass sie linear unabhaengig sind und deswegen Basis von R⁴. Zu c) und d) habe ich keine Ahnung.

Ich weiss auch nicht, ob das was och gemacht habe richtig ist. Danke

Grüße Mely

---

Ist denn  2·3 - 3 = 6?

---

ups ja stimmt habe ich rechenfehler gemacht. Danke. Aber das sagt mir nur dass die vektoren linear unanhangig sind. also R⁴ oder? muss ich noch was dazu machen?

---

Oder eher lin. abhängig weil 2v1-v2=v3 und dann doch kein Basis von R hoch3?

---

v₃  ist wie bereits gezeigt als Linearkombination von  v₂  und  v₃  darstellbar. Das bedeutet, dass diese drei Vektoren linear abhängig sind. Vektoren, die eine Basis bilden, sind immer linear unabhängig. Da  v₁,v₂,v₃  nicht linear unabhängig sind, können diese Vektoren nicht Teil einer Basis sein.

---

Vielen Dank,
stimmt ich verwechsele immer lin. abhaengigkeit und lin unanhaengigkeit. 
Ich wollte nochmal fragen zu a) da habe ich gekriegt dass die beide vektoren v1,v2 lin unabhangig sind, also ich kriege so eine matrix wenn ich Gauss anwende. also x1=0, x2=0.  Also nur 2 Ergebnis bedeutet das das wieder ein Basis von R⁴ oder weil sie nur 2 ergebnisse sind dann R²?

1	0
0	1
0	0
0	0

---

Aus der linearen Unabhängigkeit der Vektoren  v₁  und  v₂  folgt, dass  S  zu einer Basis von  ℝ⁴  ergänzt werden kann.

---

Hallo Mely!

Gehst du auch an die FU? Quäle mich auch mit den gleichen aufgaben rum :D

---

ja ich bin auch da :) und finde manche Aufgaben schon schwer :)

---

Okay..habe dich angeschrieben :D

Answer 1

Betrachten sie die Vektoren v1=(1,4,3,2), v2=(1,2,3,4) und v3=(1,6,3,0) im R⁴.

a)      Ergaenzen Sie S={v_1,v₂}⊂R⁴ zu einer Basis des R⁴.

b)      Kann man T={v₁,v₂,v₃}⊂R⁴ zu einer Basis Ergaenzen?

Dass man sie ergänzen kann, wurde ja schon geklärt, aber wie?
Du brauchst 2 Vektoren, die zu den gegebenen zweien und auch untereinader
lin unabhängig sind. ich glaube (1;0;0;1) und (0;0;1;0) sind geeignet.

f₁(x)={2x³+3x²+4x+1} , f₂(x)={4x³+3x²+2x+1} und f₃(x)={3x²+6x+1}

c)       Ergaenzen Sie S={f₁,f₂}⊂Pol_<=3(R,R) zu einer Basis von Pol_<=3(R,R)

2*f1 - f2 = f3   und f1,f2 sind lin.unab.  Also kannst du mit f1, f2, x und 1

eine Basis bilden.

d)       Geben sie mindestens 2 Isomorphismen von R⁴ nach Pol_<=3(R,R)an

einer ist ja einfach  (a,b,c,d) ----->  ax^3 + bx^2 + cx + d
und mit dem Ergebnis von c auch
(a,b,c,d) ----->  a*f1 + b*f2 + c*x + d

Comments

ich habe leider nicht verstanden was genau ich bei c)  und d ) machen muss.  Also warum hast du zu c) gegeben dass die Vektoren lin unanhaengig sind? Und dann was ist den x und 1?

und zu d) die erste Isomorph ist ein allgemeiner wie bist du aber drauf gekommen? und zu der zweite auch?

danke

grüße Mely

---

zu c)  zunächst  2*f1 - f2 = f3

also kann f3 durch f1 und f2 erzeugt werden, deshalb darf f3 in der Basis nicht vorkommen

das x ist das polynom    0 + x  + 0*x^2   +  0*x^3 also aus Pol <=3

und die 1 ähnlich      1 +  0*x  + 0*x^2   +  0*x^3

---

Entschuldigung vielleicht bin zu doof, aber wie soll ich jetzt eine Basis ergänzen? also mit f1 und f2 und dann wie du gesagt hast mit x und 1?

Grüße