Question

Wenn man von einer zweistelligen, natürlichen Zahl ihre Quersumme subtrahiert, dann ist das Ergebnis durch 9 teilbar.

$$ n={10^k}_{ak}+10^{k-1}a_{k-1}+\ldots+{10^2}_{a_2}+10a_1+a_0 $$

Bei einem allgemeinen Beweis müsstest du von der Dezimaldarstellung ausgehen. Und dann genügt es nachzuweisen, dass 10^m - 1 für alle natürlichen Zahlen m durch 9 teilbar ist. Das beweist man gewöhnlich durch Vollständige Induktion aber wie ich weiß leider nicht wie ich das damit beweisen soll ?

Answer 1

sei die Zahl \( n \) in der Form

\( n = \sum_{i=0}^{k} a_i 10^i\)

gegeben. Zieht man von \( n \) ihre Quersumme \( q \) ab, so ergibt sich

\( n - q = \sum_{i=0}^{k} a_i (10^i - 1) \).

Nun ist zu zeigen, dass \( 10^i - 1 \) immer durch \( 9 \) teilbar ist, da eine Summe aus durch \( 9 \) teilbaren Zahlen durch \( 9 \) teilbar ist. \( n - q \) ist eine solche Summe.

Sei also \( i = 0 \). Dann ist \( 10^0 - 1 = 0 \) durch \( 9 \) teilbar.

Für \( i = 1 \) ist \( 10^1 - 1 = 9 \) ebenso durch \( 9 \) teilbar.

Sei nun \( 10^i - 1 \) durch \( 9 \) teilbar. Dann ist

\( 10^{i+1} - 1 = 10 \cdot 10^i + 9 - 10 = 10(10^i - 1) + 9 \).

Da die letzten beiden Summanden durch \( 9 \) teilbar sind, ist auch ihre Summe durch \( 9 \) teilbar und der Beweis ist abgeschlossen.

Mister