Warum ist eine Zahl genau dann durch 27 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 27 teilbar ist?

Question

Hallo,

folgende Aufgabe:

Zeigen oder widerlegen Sie: Eine Zahl ist genau dann durch 27 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 27 teilbar ist.

Irgendwie finde ich dazu keinen Ansatz, ich weiß was eine Quersumme ist und ich weiß auch, dass die Quersumme dann in diesem Fall mind. 27 sein muss, da man ja sonst nicht durch 27 teilen kann, aber warum ist das so? Falls man den Gedanken von mir nachvollziehen kann..

Answer 1

Hallo Isa,

vielleicht meinst du die Dreier-Quersumme.

Das wäre z.B. für 1988307

001+988+307=1296

001+296=297=11*27

Also ist 1988307 durch 27 teilbar.

Warum gilt das?

Es ist 27*37=999.

1988307

=1000000+988000+307

=999999+1+988*999+988+307

=999*(1001+988)  +   1+988+307

Da der erste Summand durch 27 teilbar ist, kommt es nur auf die restlichen drei Summanden an.

:-)

Comments

dankeschön :-) !

Answer 2

Schon deine Frage

Warum ist eine Zahl genau dann durch 27 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 27 teilbar ist?

hat mit der Aufgabenstellung sehr wenig zu tun.

Es ist nämlich NICHT wahr, dass eine Zahl genau dann durch 27 teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch 27 teilbar ist.

Also solltest du auf die Suche nach einem Gegenbeispiel gehen.

Es gibt übrigens Gegenbeispiele für beide Richtungen (auch wenn die Aussage bereits widerlegt ist, wenn man ein Gegenbeispiel für EINE Richtung der genau-dann- wenn-Aussage findet).

Answer 3

Es gilt:

Eine Zahl ist durch 27 teilbar, wenn die Summe der Dreierblöcke durch 27 teilbar ist. Alternativ kann man fortgesetzt das Achtfache der letzten Ziffer von den verbleibenden Ziffern abziehen.

Eine Zahl ist genau dann durch 27 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 27 teilbar ist

https://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_basierend_auf_nichtalternierenden_Quersummen

Answer 4

Zeigen oder widerlegen Sie: Eine Zahl ist genau dann durch 27 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 27 teilbar ist.

Du hast doch bereits richtig erkannt, dass dies offensichtlich nicht für

27, 54, 81, 108, ...

gilt, weil dort die Quersumme ja nicht mal 27 erreicht und damit auch nicht durch 27 teilbar sein kann.

Damit ist die Aussage bereits widerlegt.

Comments

Ein Gegenbeispiel für die entgegengesetzte Richtung wäre folgendes:

Die Zahlen

1 111 111 111 111 111 111 111 111 110

und

1 111 111 111 111 111 111 111 111 101

haben beide die Quersumme 27, können aber nicht beide durch 27 teilbar sein, denn sie unterscheiden sich nur um 9.

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Selbes Beispiel wie bei 9945 und 9954.

Nur das hier die Zahlen überschaubarer sind. Letztendlich stellt man fest, dass nicht mal eine der Zahlen durch 27 teilbar ist.

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Da hast du völlig recht.

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vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden !