Ich helf dir mal ein bisschen.
a) Sei \( (a_{ij}) \in U\), das ist eine etwas krüppelige Schreibweise für eine Matrix aber sonst is des so umständlich. Ist die gaze Geschichte jetzt abgeschlossen bezüglich Skalarenmultiplikation? \(\rightarrow\) Sei \(\lambda \in \mathbb{R} \), betrachte \(\lambda (a_{ij}) = (\lambda a_{ij})\). Es gilt \(a_{ij} \in \mathbb{Q}\) (aufgrund der Definition des Unterraums, nur rationale Matrizen). Was passiert, wenn man jetzt ein irrationales \(\lambda\) nimmt? Liegt die Matrix dann in \(U\)?
b) Man berücksichtigt \(x_2=0\) indem man einfach \(x_2\) immer als \(0\) betrachtet, kann man nicht anders erklären^^ Ich zeig mal die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition, dann sollte es klar werden, den Rest schaffst du selbst.
Seien \( (x_1,x_2,x_3),(x_1',x_2',x_3') \in U \). Aufgrund der Definition gilt dann ja \(x_2=x_2'=0\).
$$ \Rightarrow (x_1,x_2,x_3) + (x_1',x_2',x_3') = (x_1,0,x_3) + (x_1',0,x_3') = (x_1+x_1', 0, x_3+x_3') \in U $$
denn das Ergebnis erfüllt ja alle Voraussetzungen, um in \(U\) zu liegen.
Übrigens: Vielleicht kennst du es noch aus der Schule: \(x_2=0\) ist die Koordinatengleichung einer Ebene.
Zur c): Hier muss geprüft werden, ob die Summe zweier invertierbarer Matrizen wieder invertierbar ist und ob ein Vielfaches einer invertierbaren Matrix wieder invertierbar ist. Hierbei ist z.B. die Determinante hilfreich.
Prinzipiell musst du dir bei solchen Beweisen immer beliebige Elemente aus dem entsprechenden Untervektorraum nehmen, die z.B. addieren oder mit nem beliebigen Skalar multiplizieren und dann das Ergebnis anschauen und prüfen, ob das für jede Wahl der Elemente die Voraussetzungen erfüllt.
