Periodischen Dezimalbruch als geometrische Reihe schreiben

Question

Schreiben Sie den periodischen Dezimalbruch zuerst als geometrische Reihe und geben Sie anschliessend ihren Grenzwert als gewöhnlichen gekürzten Bruch an: 

$$ 2.7\overline{1828} $$

Als geometrische Reihe habe ich Folgendes erdacht:

$$ 2+\frac{7}{10}+\frac{1}{100}+\frac{8}{1000}+\frac{2}{10000}+\frac{8}{100000}+\dots $$

Wäre das bitte soweit richtig? Wenn ja, wie würde denn bitte die explizite Darstellung einer solchen geometrischen Folge aussehen? Ich habe Mühe ein entsprechendes Muster auszumachen.

Wie komme ich nun bitte noch an den Grenzwert? Meine Überlegung war, dass dank der unendlichen Periodizität gerade die Dezimalzahl selbst der Grenzwert wäre.

Answer 1

Wäre das bitte soweit richtig? Wenn ja, wie würde denn bitte die explizite Darstellung einer solchen geometrischen Folge aussehen? Ich habe Mühe ein entsprechendes Muster auszumachen.

2.71828¯¯¯¯¯¯¯2,7 periode 1828
Du hast ja keine geometrische Reihe, da brauchst du doch immer irgendwas mit   an*q^n

Da zu musst du es etwas anders sehen:   Die 2,7 vorne lass mal erst weg, dann hast du
1828 / 100000   +   1828 / 1000000000  +   1828 / 10000000000000
oder auch
(1828 / 10) *(1/10000)  + (1828 / 10)*(1/10000)^2  +  (1828 / 10)*(1/10000)^3  + (1828 /10)*(1/10000)^4
und wenn du jetzt die
1828 / 10 ausklammerst, hast du 1 + (1/10000)^1 + (1/100000)^2 + ......
und das ist die geo.Reihe mit q= 1/10000  also GW  =   1  /  ( 1 - q ) = 1 / 9999
 also müsstest du deine Zahl so schreiben

2,7 +  (1828/10) *    ( 1 + (1/10000)^1 + (1/100000)^2 + ......  )
= 2,7  +  (1828/10) * (1 / 9999) =  2,7 + 1828/99990  = 27/10 + 1828/99990
= 269973/99990 + 1828/99990 =  271801 / 99990
Das ist der gesuchte Bruch. oder kann man den noch kürzen ???
Ich glaube nicht.

Comments

Aha, herzlichen Dank für die ausführliche Erklärung! Gemäss Lösung stimmt Dein Ergebnis. (: Ist ziemlich aufwendig sowas zu berechnen. :/ Aber Hauptsache, man versteht das Prinzip. Danke nochmals!

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@mathef

Kannst du mir erklären wieso du von 1828/100'000 auf (1828/10) * (1/10'000) gewechselt hast? Kann diese Überlegung nicht ganz nachvollziehen.

:)