Periodischen Dezimalbrüche in Form p/q (geom. Reihe)

Question

Ich habe zu folgender Lösung Fagen.

1.) Waum hab ich bei Aufgabe 1) "k=1" und bei Aufgabe 2) "k=0"?

2.) Warum rechne ich bei Aufgabe 2) 45/100 * Summe? Waum bei Aufgabe 1) nicht 7/10 * Summe?

Danke

Answer 1

> Waum hab ich bei Aufgabe 1) "k=1" ...

Weil 7·(1/10)¹ = 0,7 ist.

> ... und bei Aufgabe 2) "k=0"?

Weil 45/10² · (1/10²)⁰ = 0.45 ist.

> Warum rechne ich bei Aufgabe 2) 45/100 * Summe?

Weil es mathematisch korrekt ist und zur Lösung führt.

> Waum bei Aufgabe 1) nicht 7/10 * Summe?

Das weiß ich nicht. Es wäre auch möglich gewesen: $$\phantom{=} \frac{7}{10} · \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{10}\right)^k\\= 7 · \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{10}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)^k\\ = 7 · \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{10}\right)^{k+1} \\= 7 · \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{10}\right)^k$$ und dann weiter wie in deiner Lösung.

Comments

Also entweder 7/10 * Summe ; k=0

Oder

7 * Summe; k=1?

Answer 2

wenn du bei dem ersten die 7 ausklammerst, hast du

7* ( 0,1  + 0,01  + 0,001 + ....)

also beginnt die Summe mit (1/10)^1 .

wenn du bei der 2. 45 ausklammers, hast du

45 * ( 0,01 + 0,0001 + ... etc.

Die haben den Nenner  1/100 mit ausgeklammert, damit man

nachher die Rechnung was einfacher hat. Es würde aber

auch so gehen wie bei dem 1. Beispiel.