Dezimalbruchdarstellung rationaler Zahlen für periodische Dezimalbrüche

Question

hallo bräuchte mal Tipps oder Lösungshinweise für eine Aufgabe:

Aufgabe: Zeige im Rahmen der gewöhnlichen Division zur Erlangung der Dezimalbruchdarstellung rationaler Zahlen für periodische Dezimalbrüche mit Periodenlänge s ∈ ℕ folgende Regel gilt...

0,d₁,....,d_s = d₁ ...d_s /9...9 , wobei d_k  ∈ {0,1,....,8,9} die jeweiligen Dezimalstellen bezeichne

Answer 1

Da musst du ja rechnen
d₁ ...d_s   :  9...9    wobei der Divisor aus s 9en besteht.
Jetzt muss man zwei Fälle unterscheiden.
1. Fall alle dk sind gleich 9. Dann geht es genau 1-mal hinein
und du erhälts 0,periode9 = s9en / s9en = 1  stimmt.
2. Fall nicht alles 9en
Da der Dividend s-stellig ist und nicht aus lauter 9en besteht, ist er kleiner als
der divisor, also geht es 0mal hinein, d.h.
d₁ ...d_s   :  9...9 = 0,
        0
---------
d₁ ...d_s 0 
Jetzt ist der Rest s+1 stellig und beginnt mit d₁ also gehen die s9en
d1 mal hinein und von  d₁ ...d_s 0  musst du d1 * 9...9 = d1*(10^s+1 - 1) abziehen,
also   d₁ ...d_s 0    -  d₁ 0 .... 0 + d1 rechnen
das gibt als Rest   d₂ ...d_s 0  +  d1   =  d₂ ...d_s d₁
also so:
d₁ ...d_s   :  9...9 = 0, d₁ 
        0
---------
d₁ ...d_s 0 
d1*(10^s+1 - 1)
------------------
      d₂ ...d_s d₁
 und dann ist das wie am Anfang, nur fängt die Ziffernfolge mit d2 an
und das d1  ist hinten angehängt. So geht es immer weiter, bis
als Rest wieder die gleiche Ziffernfolge da steht wie am Anfang, also
die Periode zu erkennen ist.