Zeigen Sie: Die unendliche Dezimalbruchdarstellung einer reellen Zahl ist eindeutig, wenn wir Darstellungen mit …

Question

Aufgabe:

Reelle Zahlen repräsentieren Wir als unendliche Dezimalbrüche, wobei wir zwei unendliche Dezimalbrüche als äquivalent betrachten, falls deren Differenz gegen 0 konvergiert.

a) Zeigen Sie: Die unendliche Dezimalbruchdarstellung einer reellen Zahl ist eindeutig, wenn wir Darstellungen mit Periode 9 ausschließen (d.h. wenn wir z.B. nicht die Darstellung 0.0999..., sondern 0.1000... verwenden).

b) Zeigen Sie, dass es zu jeder Folge (a_n )_n ∈ℕ von reellen Zahlen mit 0 ≤ a_n < 1 eine reelle Zahl b ∈ ℝ, 0 ≤ b < 1 gibt mit a_n ≠ b für alle n ∈ ℕ.

Problem/Ansatz:

Bei den Aufgaben fehlt mir leider der Ansatz

Answer 1

Zu a) kann ein indirekter Beweis geführt werden:

Angenommen, es gäbe zwei verschiedene Dezimalbruchdarstellungen einer reellen Zahl. Dann unterscheiden sie sich mindestens an einer Stelle. Dann ist ihre Differenz aber nicht Null und konvergiert auch nicht gegen Null. Dies widerspricht der Forderung, Dezimalbrüche als äquivalent zu betrachten, falls deren Differenz gegen 0 konvergiert.