Erzeugendensystem Basis Vektorraum

Question

a)  Gegeben sind x_{1 ,} x₂ und x₃ ∈ℝ² mit 

x₁= ⌈1 ;1⌉  x₂= ⌈-1 ; 1⌉  und x₃= ⌈2 ; 3⌉ .

(i) Zeigen sie , dass E =⟨x_1,x₂ , x_3⟩ ein Erzeugendensystem des Vektorraumes ℝ²ist, aber keine Basis.

(ii) Verkleinern Sie E so, dass eine Basis B des ℝ² entsteht. Nachweis!

(iii) Geben Sie mit Hilfe des Erzeugendensystems E = ⟨x₁ , x₂ , x_3⟩ drei verschiedene Linearkombinationen           für  ⌈5 ; 8⌉ ∈ ℝ² an.

(iv) Stellen Sie ⌈5 ; 8⌉ ∈ ℝ² mit Hilfe ihrer Basis B dar.

b) Untersuchen Sie, ob die folgenden Erzeugendensysteme eine Basis des ℝ³  bilden:

(i) E₁ = ⟨ ⌈ 0 ; 1; 2⌉ ; ⌈1 ; 2; 0⌉ ; ⌈2 ; 0 ; 1⌉⟩

(ii) E₂= ⟨ ⌈ -1 ; 1; 3⌉ ; ⌈ 0 ; -2 ; 0⌉ ; ⌈3 ; -1 ; 2⌉⟩ 

Answer 1

a)  Gegeben sind x_{1 ,} x₂ und x₃ ∈ℝ² mit 

x₁= ⌈1 ;1⌉  x₂= ⌈-1 ; 1⌉  und x₃= ⌈2 ; 3⌉ .

(i) Zeigen sie , dass E =⟨x_1,x₂ , x_3⟩ ein Erzeugendensystem des Vektorraumes ℝ²ist, aber keine Basis. 

sind Erzeugendensystem des Vektorraumes ℝ²  :

Seien   ⌈a ;b⌉   ∈ℝ²    dann ist  0,5(a+b)*x1 + o,5*(a-b)*x2 + 0*x3 =   ⌈a ;b⌉

und wegen   2,5*x1 + (-o,5)*x2   = x3 sind sie lin. abh. also keine Basis

(ii) Verkleinern Sie E so, dass eine Basis B des ℝ² entsteht. Nachweis! 

Lass den letzten weg, dann ist mit der gl. Überlegung wie bei (i) es immer noch

ein Erz.syst.   und die 2 sind l.u.

(iii) Geben Sie mit Hilfe des Erzeugendensystems E = ⟨x₁ , x₂ , x_3⟩ drei verschiedene Linearkombinationen           für  ⌈5 ; 8⌉ ∈ ℝ² an.    sieh (i) mit a=5 und b= 8 dann hast du schon mal eine

wähle dann z.B.  vor dem 3. Vektor statt 0 eine andere Zahl, etwa 1und rechne

                    bei          u*x1 + v*x2 + 1*x3 =   ⌈5 ;8⌉     das u und das v    aus

und dann noch mal mit 2 statt 1.

(iv) Stellen Sie ⌈5 ; 8⌉ ∈ ℝ² mit Hilfe ihrer Basis B dar.

b) Untersuchen Sie, ob die folgenden Erzeugendensysteme eine Basis des ℝ³  bilden:  

drei Vektoren von ℝ³   bilden immer ein Ez.syst von ℝ³   wenn sie lin.unabh. sind.

also machst du den Ansatz

a* ⌈ 0 ; 1; 2⌉ +b* ⌈1 ; 2; 0⌉ +  c*⌈2 ; 0 ; 1⌉ = ⌈0 ; 0 ; 0⌉

wenn a=0 und b=0  und c=0   die EINZIGE Lösung ist, sind sie lin.unabh. sonst nicht.

(i) E₁ = ⟨ ⌈ 0 ; 1; 2⌉ ; ⌈1 ; 2; 0⌉ ; ⌈2 ; 0 ; 1⌉⟩

(ii) E₂= ⟨ ⌈ -1 ; 1; 3⌉ ; ⌈ 0 ; -2 ; 0⌉ ; ⌈3 ; -1 ; 2⌉⟩    siehe (i)