Extrema stetiger Funktion f(x)=sin(x)

Question

Hey wir haben gerade stetige Funktionen und die Aufgabe lautet: Hat die folgende Funktion ein Minimum bzw. Maximum? Begründen Sie Ihre Antwort und geben sie gegebenenfalls den Funktionswert des Extremas an.

$$f:]-2\pi ,2\pi [\rightarrow R,\quad x\mapsto sin(x)$$

Nun weiß ich, dass diese Funktion zwei Maxima und zwar bei x₁(1/2π,1) und bei x₂ (-3/2π,1) besitzt und zwei Minima die bei x₃(-1/2π,-1) und bei x₄ (3/2π,-1) liegen. Leider weiß ich aber nicht wie ich das begründen bzw. beweisen kann. Weiß da jemand was?

Answer 1

Um ein Extrema zu bekommen ist die notwendige Bedingung, dass die 1. Ableitung 0 mit Vorzeichenwechsel ist.

f'(x) = cos(x) = 0

x = pi/2 + k * pi

Also Extremstellen bei - 3/2*pi ; -1/2*pi ; 1/2*pi ; 3/2*pi

Dazu rechnest du noch die y-Koordinaten aus und erklärst was für Extrema das sind.

Comments

@mathecoach
ist das nicht nur eine Verschiebung der Antwort..

Der Fragesteller " weiß oder kennt " die Minima und Maxima
der sin - Funktion, weiß sie aber aber nicht zu begründen.

Deine Antwort ist :
dort wo die 1.Ableitung 0 ist sind Min und MAX
cos ( x ) = 0.
Dazu muß man aber das Wissen um die cos-Funktion
haben.
Dann könnte man auch mit der sin-Funktion antworten.

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Achso ich habe gedacht, dass man das anders beweisen muss aufgrund des Themas Stetigkeit aber dann mach ich das einfach so, danke! :)

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@georgborn

da hast du nicht ganz unrecht. Die Frage ist vielleicht danach was man voraussetzen darf.

SIN(x) ist das Verhältnis aus Gegenkathete/Hypotenuse. Im Einheitskreis mit der Hypotenuse 1 haben wir also Minima bzw. Maxima, wenn das Abstand zur x-Achse maximal wird. Das ist bei 90 Grad = pi/2 und 270 Grad = 3/2*pi der Fall.

Das sind also die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der y-Achse, weswegen dort auch der Kosinus genau 0 wird.

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@mathecoach
die Herleitung der sin-Funktion incl Min/Max/Nullstellen lässt sich wohl
am besten über  Gegenkathete/Hypotenuse am Einheitskreis
erklären.

Answer 2

Hi, da die Funktion f alle Werte im Intervall [-1; 1] auch tatsächlich annimmt und sonst keine, ist -1 das Minimum und 1 das Maximum.