Analytische Geometrie: Ebene und Geraden
Gegeben sind die Punkte A(1 | 2 | -5); B(1 | -1 | 10); C(0 | -1 | 6).
a) Geben Sie eine Gleichung der durch die drei Punkte festgelegten Ebene E in der Parameterform, Normalform, Koordinatenform und Achsenabschnittsform an.
Parameterform
E: X = A + r·(B - A) + s·(C - A)
E: X = [1, 2, -5] + r·([1, -1, 10] - [1, 2, -5]) + s·([0, -1, 6] - [1, 2, -5])
E: X = [1, 2, -5] + r·[0, -3, 15] + s·[-1, -3, 11]
Koordinatenform
N = [0, -3, 15] ⨯ [-1, -3, 11] = [12, -15, -3] = 3·[4, -5, -1]
E: X·[4, -5, -1] = [1, 2, -5]·[4, -5, -1]
E: 4·x - 5·y - z = -1
Achsenabschnittsform
E: x/(-0.25) + y/(0.2) + z/(-1) = 1
b) Geben Sie die Gleichung der Spurgeraden von E in der x-y-Ebene an.
4·x - 5·y = -1
X = [-0.25, 0, 0] + r·([0, 0.2, 0] - [-0.25, 0, 0]) = [-0.25, 0, 0] + r·[0.25, 0.2, 0]
Gegeben sind weiterhin die Geraden g: X = [3, 2, 3] + r·[2, 1, 3] und h: X = [0, -3, 6] + r·[1, 2, -1].
c) Bestimmen Sie den Spurpunkt S der Geraden g in der x-y-Ebene.
X = [3, 2, 3] + r·[2, 1, 3] = [x, y, 0]
3 + 3·r = 0
r = -1
X = [3, 2, 3] + (-1)·[2, 1, 3] = [1, 1, 0]
d) Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Gerden g und h zur Ebene E. Bestimmen Sie ggf. den Schnittpunkt S.
[4, -5, -1]·[2, 1, 3] = 0 --> g ist (echt/unecht) parallel zu E.
E = 4·(3) - 5·(2) - (3) = -1 --> wahr --> g liegt in E.
[4, -5, -1]·[1, 2, -1] = -5 --> h schneidet E.
E: 4·(r) - 5·(2·r - 3) - (6 - r) = -1 --> r = 2
S = [2, 2·2 - 3, 6 - 2] = [2, 1, 4]