Gleichungen in Parameterform - Ebene e

Question

Gegeben sind die Punkte A (1|2|-5) , B (1|-1|10) und C (0|-1|6) 

a) Geben Sie eine Gleichung der durch die drei Punkte festgelegten Ebene E in der Parameterform , Normalform , Koordinatenform und Achsenabschnittsform an. 

[Zwichenergebnis: Koordinatenform E: -4x₁ + 5x_{2 +} x₃ = 1]

b) Geben Sie die Gleichung der Spurgeraden von E in der x₁ x₂ Ebene an

gegeben sind weiterhin die Gerden 

g: x = (übereinander geschrieben) 3 | 2 | 3 + r (übereinander     geschrieben) 2 | 1 | 3   Und h: x = (übereinander geschrieben) 0 | -3 | 6 + r (übereinander geschrieben) 1 | 2 | -1

( Übereinander geschrieben bedeutet das die Zahlen Überwinder geschrieben sind )

c) bestimmen Sie den Spurpunkt S der Geraden g in der x₁x_{2 Ebene}

_{D) Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Gerden g und h zur Ebene E. Bestimmen Sie ggf. Den Schnittpunkt S}

Answer 1

Analytische Geometrie: Ebene und Geraden

Gegeben sind die Punkte A(1 | 2 | -5); B(1 | -1 | 10); C(0 | -1 | 6).

a) Geben Sie eine Gleichung der durch die drei Punkte festgelegten Ebene E in der Parameterform, Normalform, Koordinatenform und Achsenabschnittsform an.

Parameterform

E: X = A + r·(B - A) + s·(C - A)

E: X = [1, 2, -5] + r·([1, -1, 10] - [1, 2, -5]) + s·([0, -1, 6] - [1, 2, -5])

E: X = [1, 2, -5] + r·[0, -3, 15] + s·[-1, -3, 11]

Koordinatenform

N = [0, -3, 15] ⨯ [-1, -3, 11] = [12, -15, -3] = 3·[4, -5, -1]

E: X·[4, -5, -1] = [1, 2, -5]·[4, -5, -1]

E: 4·x - 5·y - z = -1

Achsenabschnittsform

E: x/(-0.25) + y/(0.2) + z/(-1) = 1

b) Geben Sie die Gleichung der Spurgeraden von E in der x-y-Ebene an.

4·x - 5·y = -1

X = [-0.25, 0, 0] + r·([0, 0.2, 0] - [-0.25, 0, 0]) = [-0.25, 0, 0] + r·[0.25, 0.2, 0]

Gegeben sind weiterhin die Geraden g: X = [3, 2, 3] + r·[2, 1, 3] und h: X = [0, -3, 6] + r·[1, 2, -1].

c) Bestimmen Sie den Spurpunkt S der Geraden g in der x-y-Ebene.

X = [3, 2, 3] + r·[2, 1, 3] = [x, y, 0]

3 + 3·r = 0

r = -1

X = [3, 2, 3] + (-1)·[2, 1, 3] = [1, 1, 0]

d) Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Gerden g und h zur Ebene E. Bestimmen Sie ggf. den Schnittpunkt S.

[4, -5, -1]·[2, 1, 3] = 0 --> g ist (echt/unecht) parallel zu E.

E = 4·(3) - 5·(2) - (3) = -1 --> wahr --> g liegt in E.

[4, -5, -1]·[1, 2, -1] = -5 --> h schneidet E.

E: 4·(r) - 5·(2·r - 3) - (6 - r) = -1 --> r = 2

S = [2, 2·2 - 3, 6 - 2] = [2, 1, 4]

Comments

 Vielen Dank !Noch eine Frage ;E)
Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g_p die durch den Punkt T (11|-8|1) parallel zur Ebene E verläuft

G)
Der Punkt T (11|-8|1) wird an der Ebene E gespiegelt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes T'

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 Vielen Dank !Noch eine Frage ;  E) 
Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g_p die durch den Punkt T (11|-8|1) parallel zur Ebene E verläuft  

weil die Gerade g unecht parallel zu E ist kannst du einfach den Punkt und den Richtungsvektor von g nehmen.

Ansonsten gibt's natürlich unendlich viele verschiedene Lösungen. 

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Der Punkt T (11|-8|1) wird an der Ebene E gespiegelt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes T' 

Lege eine Gerade durch T mit dem Normalenvektor von E und ermittel den Spiegelpunkt. Spiegel jetzt T am Spiegelpunkt.

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Und wie rechnet man das ? Bin etwas verwirrt :( eine Rechnung bei g) wäre super

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Lege eine Gerade durch T mit dem Normalenvektor von E

Wie lautet die Gleichung der Geraden?

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Eine rechnung würde mir helfen

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g= (3 |2 |2) * r (11|-8|1) ?

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g= (3 |2 |2) * r (11|-8|1) ?

Wie ist der Aufbau einer Geradengleichung ? Was ist der Vektor ohne r? Was ist der Vektor mit dem Faktor r?

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Y=mx+b ist eine geradengleichung Oder nicht ?

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Ja. Was ist m? was ist b?

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Die Frage stell ich mir auch ein Rechenansatzt wär super

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Durch die Rechnung lernst du ja offensichtlich nichts. Sonst hättest du bereits bei a) bid d) gelernt. Aber vermutlich hast du nur die Rechnungen abgeschrieben und nicht überlegt warum man etwas so rechnet.