Schwerpunkt einer Normalparabel berechnen

Question

Hallo es ist das erste mal dass ich solche Aufgaben rechne und ich tue mich gerade schwer dabei, daher würde ich gerne um korrektur bitten, sodass ich eine gute vorlage zum versteh und lernen habe.

Aufgabe - Flächenschwerpunkt, Symmetrie, Integration

Wo liegt der Schwerpunkt der dargestellten Parabel 2. Ordnung? Gegeben, a, b

 
Meine Rechnung:
Schwerpunktformel : x_s = 1/a∫xdA
Fläche A= ∫_-b^b  ax² dx =  2ab³/3
xs=0 wegen Symmetrie

ys=1/a∫_-b^b ∫_b^ax² ydydx  (ich habe hier nicht so ganz verstanden wieso hier nur noch y*dydx steht und nicht die funktion y=ax² steht, habe das Schema von einer anden Aufgabe hier und aus Wikipedia abgeguckt, wär nett wenn wir das Jemand erklären kann, eventuell löst das auch schon mein Problem)

ys= 3ab³/2*∫_-b^b  [ y²/2 ]_b^ax² dx
ys= 3ab³/2*1/2* ∫_-b^b (ax²)² -b² dx
ys= 3ab³/4* ∫_-b^b (a²x⁴ -b² ...

Wär dieser Ansatz richtig, also Formel und grenzen ?

Answer 1

ich habe mir deine Überlegungen nicht angeschaut und sehe
das Ganze mehr vom Physikalischen/Statik.


Ich habe die Parababel um 90 ° gedreht und
die Umkehrfunktion  gebildet
Wobei wegen der Wurle nur der positive Wert
herauskommt. Dann z = 2 * y
Punkt A ist der Drehpunkt. Es entstehen Momente
Kraft mal Hebelarm : M = x * z
Die Stammfunktion muß noch gebildet werden.
Die Integratiosngrenzen sind : von 0 bis x(max)=a*b^2.
Dann muß die Fläche berechnet werden.
∫  2 * √ (x/a) dx. Mit denselben Integrationsgrenzen.
xs ist die Länge ( Hebelarm ) bis zum Schwerpunkt.
M = Fläche * xs
Das Ganze ist relativ physikalisch.
Fiel mir spontan so ein.

mfg Georg

Comments

Bei mir kommt heraus :
ys = 3/5 * a*b^2