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Servus!

Ich habe zu Folgender Aufgabe einige Probleme:


Berechnen Sie die Koordinaten \( \vec{r}=\left(x_{s}, y_{s}, z_{s}\right) \) des Schwerpunkts über

$$ \vec{r}_{s}=\frac{1}{m} \int \vec{r} \cdot \rho(\vec{r}) \mathrm{d} V $$
für einen Kegel mit Volumen V, Masse m und konstanter Dichte \(  \rho(\vec{r})=\frac{m}{V} . \) Nutzen Sie Symmetrien!

Unbenannt.PNG


Meine Überlegung:

Ich habe bei folgender Aufgabe Versucht, zuerst herauszufinden wie \(d V\) lautet. Dazu habe ich zuerst bei der Grundfläche angefangen. Da die Grundfläche genau \(2\cdot\int \sqrt{1-x^2}dx\) ist, wäre \(dG=2\cdot\sqrt{1-x^2}dx\) und durch \(V=\frac{1}{3} \pi\cdot R^2\cdot h=\frac{1}{3} h\cdot G\) wäre \(dV=\frac{1}{3} h \cdot2\cdot\sqrt{1-x^2}dx\).

Mit einsetzen kommt aber \(\frac{1}{R}\) raus.
Was habe ich falsch gemacht und ist vielleicht sogar mein Ansatz/meine Idee komplett Falsch?

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Aloha :)

Aus Symmetriegründen liegt der Schwerpunkt auf der \(z\)-Achse (vgl. Zeichnung). Daher ist \(x_s=y_s=0\) und wir müssen nur noch \(z_s\) bestimmen. Dazu wählen wir Zylinderkoordinaten:

$$\vec r=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{array}\right)\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\,;\,z\in[0;h]\,;\,r\in\left[0;R\left(1-\frac{z}{h}\right)\right]\,;\,dV=rdr\,dz\,d\varphi$$Die obere Intervallgrenze für \(r\) berücksichtigt das Zusammelaufen des Kegels, wenn sich der \(z\)-Wert der Spitze nähert.$$z_s=\frac{1}{m}\underbrace{\int\limits_0^{2\pi}d\varphi}_{=2\pi}\int\limits_0^hdz\int\limits_0^{R(1-z/h)}dr\,r\,z\,\underbrace{\rho}_{=\frac{m}{V}}=\frac{2\pi}{V}\int\limits_0^hdz\,z\int\limits_0^{R(1-z/h)}dr\,r$$$$\phantom{z_s}=\frac{2\pi}{V}\int\limits_0^hdz\,z\left[\frac{r^2}{2}\right]_0^{R(1-z/h)}=\frac{\pi}{V}\int\limits_0^hdz\,z\left[R^2\left(1-\frac{z}{h}\right)^2\right]$$$$\phantom{z_s}=\frac{\pi R^2}{V}\int\limits_0^hdz\,z\left(1-\frac{2z}{h}+\frac{z^2}{h^2}\right)=\frac{\pi R^2}{V}\int\limits_0^hdz\left(z-\frac{2z^2}{h}+\frac{z^3}{h^2}\right)$$$$\phantom{z_s}=\frac{\pi R^2}{V}\left[\frac{z^2}{2}-\frac{2z^3}{3h}+\frac{z^4}{4h^2}\right]_{z=0}^h=\frac{\pi R^2}{V}\left[\frac{1}{2}h^2-\frac{2}{3}h^2+\frac{1}{4}h^2\right]=\frac{\pi R^2}{V}\cdot\frac{h^2}{12}$$

Setzen wir noch das Volumen \(V=\frac{1}{3}\pi R^2h\) des Kegels ein, erhalten wir \(z_s=\frac{h}{4}\). Der Schwerpunkt liegt daher bei:$$S\left(0\,|\,0\,|\,\frac{h}{4}\right)$$

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Aber wie kommst du auf \(dV=rdr \: dz \: dφ\)?

LG

Beim Wechsel der Koordinaten ändert sich das Volumenelemt:

$$dx\,dy\,dz=\left|\begin{array}{c}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial\varphi} & \frac{\partial x}{\partial z}\\\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial\varphi} & \frac{\partial y}{\partial z}\\\frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial\varphi} & \frac{\partial z}{\partial z}\end{array}\right|\,dr\,d\varphi\,dz$$Das Volumenelement \(dV=dx\,dy\,dz\) hat eine andere Größe als das Volumenelement \(d\tilde V=dr\,d\varphi\,dz\). Die sog. "Funktionaldeterminante" oben korrigiert diesen Unterschied. Allgemein gibt die Determinante einer Matrix an, welches Volumen die darin enthaltenen Spalten- bzw. Zeilenvektoren aufspannen. Diese Idee wird hier auf die Änderung des Volumens übertragen das die Differentiale aufspannen. Genaueres dazu findest du z.B. hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionaldeterminante

Rechnen wir die Determinante für Zylinderkoordinaten aus, finden wir als Korrekturfaktor zwischen den Volumenelementen:$$\frac{dV}{d\tilde V}=\left|\begin{array}{c}\cos\varphi & -r\sin\varphi & 0\\\sin\varphi & r\cos\varphi & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right|=(r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi)=r$$

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