Aloha :)
Aus Symmetriegründen liegt der Schwerpunkt auf der \(z\)-Achse (vgl. Zeichnung). Daher ist \(x_s=y_s=0\) und wir müssen nur noch \(z_s\) bestimmen. Dazu wählen wir Zylinderkoordinaten:
$$\vec r=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{array}\right)\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\,;\,z\in[0;h]\,;\,r\in\left[0;R\left(1-\frac{z}{h}\right)\right]\,;\,dV=rdr\,dz\,d\varphi$$Die obere Intervallgrenze für \(r\) berücksichtigt das Zusammelaufen des Kegels, wenn sich der \(z\)-Wert der Spitze nähert.$$z_s=\frac{1}{m}\underbrace{\int\limits_0^{2\pi}d\varphi}_{=2\pi}\int\limits_0^hdz\int\limits_0^{R(1-z/h)}dr\,r\,z\,\underbrace{\rho}_{=\frac{m}{V}}=\frac{2\pi}{V}\int\limits_0^hdz\,z\int\limits_0^{R(1-z/h)}dr\,r$$$$\phantom{z_s}=\frac{2\pi}{V}\int\limits_0^hdz\,z\left[\frac{r^2}{2}\right]_0^{R(1-z/h)}=\frac{\pi}{V}\int\limits_0^hdz\,z\left[R^2\left(1-\frac{z}{h}\right)^2\right]$$$$\phantom{z_s}=\frac{\pi R^2}{V}\int\limits_0^hdz\,z\left(1-\frac{2z}{h}+\frac{z^2}{h^2}\right)=\frac{\pi R^2}{V}\int\limits_0^hdz\left(z-\frac{2z^2}{h}+\frac{z^3}{h^2}\right)$$$$\phantom{z_s}=\frac{\pi R^2}{V}\left[\frac{z^2}{2}-\frac{2z^3}{3h}+\frac{z^4}{4h^2}\right]_{z=0}^h=\frac{\pi R^2}{V}\left[\frac{1}{2}h^2-\frac{2}{3}h^2+\frac{1}{4}h^2\right]=\frac{\pi R^2}{V}\cdot\frac{h^2}{12}$$
Setzen wir noch das Volumen \(V=\frac{1}{3}\pi R^2h\) des Kegels ein, erhalten wir \(z_s=\frac{h}{4}\). Der Schwerpunkt liegt daher bei:$$S\left(0\,|\,0\,|\,\frac{h}{4}\right)$$
