Gegeben ist die Kurvenschar mit fa(x)=(a-x)*ex/a

Question

x∈R ; a>0

1. Bilden sie die Ableitungsfunktionen fa', fa'', fa'''

2. Bestimmen sie in Abhängigkeit von a die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von fa mit den Koordinatenachsen.

3. Berechnen sie die Lage und Art der Extrema von fa.

4. Geben sie die Koordinaten des Wendepunktes von fa an.

5. Geben sie die Gleichung der Ortskurve an.

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Das ist eine ziemlich lange Aufgabe; Könnte eine Weile dauern, bis jemand Zeit hat, die zu rechnen.

Versuche in dieser Zeit mal die Antworten von https://www.mathelounge.de/14876/kurvenschar-e-funktion-ableiten-fa-… an deine Aufgabe anzupassen.

Answer 1

1. Bilden sie die Ableitungsfunktionen fa', fa'', fa'''

f(x) = (a - x)·e^x/a
f '(x) = - x/a·e^x/a
f ''(x) = - e^x/a·(x + a)/a²
f '''(x) = - e^x/a·(x + 2·a)/a³

2. Bestimmen sie in Abhängigkeit von a die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von fa mit den Koordinatenachsen.

Y-Achsenabschnitt f(0)
f(0) = (a - 0)·e^0/a = a

Nullstellen f(x) = 0
(a - x) = 0
x = a

3. Berechnen sie die Lage und Art der Extrema von fa.

Extremstelle f'(x) = 0
- x/a = 0
x = 0

f(0) = a
f ''(x) = -1/a ==> Maximum HP(0 | a)

4. Geben sie die Koordinaten des Wendepunktes von fa an.

Wendestelle f''(x) = 0
-(x + a)/a² = 0
x = -a

f(-a) = (a - (-a))·e^-a/a = 2a/e ==> Wendepunkt WP(-a | 2a/e)

5. Geben sie die Gleichung der Ortskurve [der Wendepunkte] an.

Wendestelle 
x = -a
a = -x

Das setzte ich für a in die Funktion ein

f(x) = (-x - x)·e^x/-x = - 2/e·x

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Hier noch eine kleine Skizze der Funktion für a im Bereich von 1 bis 5 und die Ortskurve der Wendepunkte