Question

Gegeben ist die Kurvenschar:
f_{a (x) = x^4 - x^2 (a+4) + 4a a) Betrachte zunächst den Spezialfall a=1:      Berechne Nullstellen, Extrema und Wendepunkte, (Tests und Koordinaten nicht vergessen) b) Berechne die Nullstellen
c) Berechne die Extrema d) Gib an, für welche Parameterwerte es zwei bzw. drei bzw. vier Nullstellen gibt  e) Gib die Parameterwerte an, für die bei x=0 ein Maximum vorliegt f) Gib die Parameterwerte an, für welche die Extrema auf der x-Achse liegen.    (Wendepunkte sind hier nicht verlangt)}

Answer 1

a) Betrachte zunächst den Spezialfall a = 1. Berechne Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.

Funktion und Ableitungen

f1(x) = x^4 - x^2·(1 + 4) + 4·1 = x^4 - 5·x^2 + 4

f1'(x) = 4·x^3 - 10·x

f1''(x) = 12·x^2 - 10

f1'''(x) = 24·x

Nullstellen f(x) = 0

x^4 - 5·x^2 + 4 = 0

x = ± 1 ∨ x = ± 2

Extrempunkte f'(x) = 0

4·x^3 - 10·x = 0

x = 0 ∨ x = ± √2.5

f(0) = 4 --> Hochpunkt

f(√2.5) = f(-√2.5) = -2.25 --> Tiefpunkte

Wendepunkte f''(x) = 0

12·x^2 - 10 = 0

x = ± √(5/6)

f(√(5/6)) = f(-√(5/6)) = 19/36