Zeigen Sie: f(x) := an*x^n konvergiert für alle x ∈ R mit |x| < 1.

Question

Es sei (an)n∈N eine beschränkte Folge reeller Zahlen. 

Zeigen Sie:

f(x) := n=1 bis ∞ ∑ an x^n konvergiert für alle x ∈ R mit |x| < 1. 

ich habe so gedacht, dass f(x) = ∑an *∑x^n und ∑x^n ist ja die geometrische reihe dann ist die für |x| < 1 konvergiert, aber ich muss noch zeigen, dass ∑an konvergiert ist, und ich weiss nichts über sie, nur, dass sie beschränkt ist, und ich weiss nicht, wie das mir hilft..

Comments

Tipp: Es existiert ein  K ∈ ℝ  mit  |an| < K  für alle  n ∈ ℕ. Zeige damit, dass die Reihe absolut konvergiert.

Answer 1

Hi,
$$ \left| \sum_{n=1}^\infty a_n x^n \right| \le \sum_{n=1}^\infty \left|  a_n x^n\right| \le M \sum_{n=1}^\infty\left| x \right|^n $$
Damit hast Du eine konvergente Majorante gefunden, falls \( |x| < 1 \) gilt.

Comments

was ist aber M ?

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achso, das ist K vom tipp. jetzt ist das klar danke!

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Genau, das ist die obere Schranke der Folge \(  a_n \) die ja existiert, weil die Folge beschränkt ist.