Bestimmen Sie alle x ∈ R mit denen die Potenzreihe konvergiert

Question

Ich habe folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie alle x ∈ R mit denen die Potenztreihe konvergiert.

Ich habe dazu folgende Idee:

Zuerst wollte ich schauen ob die Reihe beschränkt ist, da

-> Ist die Folge (ⁿ√(a_n) ) unbeschränkt, so konvergiert die Potenzreihe nur für x = 0.

Dort kam ich dann auf  ⁿ√(|3n⁷|) * ⁿ√(|1/(2n!)|) * |x|

Das bedeutet doch es gibt eine Schranke mit 3/2*x.

lim(x->∞)( ⁿ√(|3n⁷|))  = ∞ , allerdings ist lim(x->∞)(ⁿ√(|1/(2n!)|)) = 0, somit ist lim(x->∞)( ⁿ√(|3n⁷|) * ⁿ√(|1/(2n!)|) * |x|) = 0 und ich habe damit eine weiter Schranke.

Somit kann ich den Satz oben nicht anwenden.

Also gilt:

-> Ist  ϱ = 0, so konvergiert die Potenzreihe für alle x ∈ K absolut.

Dies bedeutet die Lösung ist, dass die Reihe für alle x konvergiert.

Bin ich richtig vorgegangen?

LG

Comments

Bei der Berechnung des Konvergenzradius solltest du das x^n nicht beachten.

Answer 1

Ich würde hier das Quotientenkriterium für günstiger halten, also a_n / a_n+1 untersuchen:

Das gibt  ( 3n⁷ * 2(n+1)! )  /    ( 3(n+1)⁷ * 2n! )    kürzen gibt

( n⁷ * (n+1))  /    (n+1)⁷

Das geht gegen unendlich, also konvergiert die Reihe immer.