…Bestimmen Sie alle x ∈ R, für die Potenzreihe konvergiert

Question

Aufgabe:

x ∈ R für die Potenzreihe konvergiert?

Problem/Ansatz:

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{5}}{4^{n+1}}(x-4)^{n} \)

Answer 1

Aloha :)

$$p(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \underbrace{\frac{n^5}{4^{n+1}}}_{=:a_n}\cdot(x-4)^n$$$$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{\frac{n^5}{4^{n+1}}}{\frac{(n+1)^5}{4^{n+2}}}=\frac{n^5}{4^{n+1}}\frac{4^{n+2}}{(n+1)^5}=\frac{4^{n+2}}{4^{n+1}}\frac{n^5}{(n+1)^5}=4\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^5}$$Daher ist der Konvergenzradius:$$ r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=4$$Die Potenzreihe konvergiert also für \(|x|<4\). Weil offensichtlich \(p(4)=0\) gilt, kann man die rechte Grenze noch zum Konvergenzintervall hinzu nehmen: \(-4<x\le4\).