Zeigen, dass eine Funktion beschränkt ist

Question

Hallo :-)

Ich weiß irgendwie gar nicht, wie ich das nachweisen soll, weil ich keine direkte Funktion gegeben habe.

Gegeben sei eine stetige Funktion f: [0,1] -> R. Zeigen Sie, dass f ([0,1]) nach unten beschränkt ist.

Comments

Kannst du Sätze über stetige Funktionen verwenden ?
z. B. jede stetige Funktion bildet ein kompaktes Intervall auf ein kompaktes Intervall ab
beutzen ?

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Wie meinst du das?

Ich weiß gar nicht, wie ich das machen soll.

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Da musst Du nichts "machen". Der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen F[a,b]->R sagt, dass es für jede Zahl d zwischen f(a) und f(b) eine Zahl c zwischen a und b gibt für die gilt f(c)=d. Ferner bilden stetige Funktionen mit Intervall wieder auf ein Intervall ab. Das in der Aufgabe gegebene Intervall ist nach beiden seiten hin abgeschlossen (Siehe Schreibweise für offene oder halboffene Intervalle). Somit muss der Deffinitionsbereich endlich sein, womit es auch einenen endlichen Wertebereich geben muss (Der Wertebereich wäre sonst kein abgeschlossenes Intervall). Ein endlicher Wertbereich wiederum bedeutet eine Beschränkung.

Answer 1

Wenn du verwenden kannst:
abg. Intervall wird auf abg. Intervall abgebildet,

Dann ist f( [0,1]) ein abgeschlossenes Intervall  [c,d]
und das ist nach unten beschränkt durch c

Comments

"Wenn du verwenden kannst:
abg. Intervall wird auf abg. Intervall abgebildet,"

Das stimmt gar nicht. Gegenbeispiel: \(f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=e^x\). Dann wird das Intervall \(\mathbb{R}\) (abgeschlossen) auf das Intervall \((0,\infty)\) (offen) abgebildet.
Wenn du "abgeschlossen" durch "kompakt" ersetzt, dann stimmt es. Aber das steht ja auch schon oben.