a) Es sei q ∈ K, wobei K = ℝ oder ℂ ist, beliebig. Zeigen Sie, dass fur alle N ∈ ℕ
die folgende Gleichung gilt:
$$\sum _{ n=0 }^{ N }{ { q }^{ n } } =\quad \frac { 1-{ q }^{ N+1 } }{ 1-q } $$ (irgendwie krieg ich das mit dem formeleditor nich hin^^ die Reihe ist die Summe von qn und ist gleich (1-qN+1)/1-q )
... Mit Induktion. Habe ich erledigt
b) Zeigen sie dass die Reihe
$$\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { q }^{ n } } $$
für |q| < 1 konvergiert und bestimmen sie ihren Wert
...War auch noch einfach : Konvergiert gegen 1/1-q
c) Zeigen sie dass die Reihe
$$\sum _{ n=0}^{ \infty }{ { q }^{ n } } $$
divergiert falls |q| ≥ 1
Hier kommt nun meine eigentliche Frage :
Wie schreibe ich das nun korrekt auf ?
q muss ungleich 1 sein wegen der Formel aus a
Ich weiß falls q > 1 divergiert die Reihe wegen der Formel aus a gegen ∞
falls q = -1 ist die Reihe = (-1,0,-1,0,-1,0,...) daher divergiert sie (lim inf und lim sup sind verschieden)
falls q <-1 ist die ein Element der Reihe gleich 1 , für n=0
qn ist größer als 0 falls n ist gerade
qn ist kleiner als 0 falls n gerade
und |qn+1| ≥ |qn|
=> Die Reihe divergiert für alle |q| ≥ 1
aber das lässt jawohl noch zu wünschen übrig ich wüsste aber leider auch nicht wie ich das anders aufschreiben könnte.. Hilfe^^
