Quadratische Gleichung: Quadriert man drei aufeinander folgende natürliche Zahlen...

Question

Quadriert man drei aufeinander folgende natürliche Zahlen, so beträgt die Summe der Quadrate 149

Hab jetzt diese Gleichung

x+(x+1)²+(x+2)² = 149

Aber wie soll ich die drei Zahlen herausfinden??

Answer 1

Keiner siehrt hier die Symmetrie. Ich setze mich auf den mittelsten Term:

n ( - 1 ) := n0 - 1   ( 1a )

n1 := n0 + 1   ( 1b )

n ( - 1 ) ² + n0 ² + n1 ² = ( n0 - 1 ) ² + ( n0 + 1 ) ² + n0 ² =  ( 2a )

= 3 n0 ² + 2 = 149  ===> n0 = 7   ( 2b )

Ich eliminiere quasi diesen gemischten Term; ist doch toll.

Answer 2

eigentlich nur noch ausrechnen? Soweit siehts gut aus (Quadrat fehlt beim ersten Summanden) ;).

x^2 + x^2+2x+1 + x^2+4x+4 = 149

3x^2+6x+5 = 149        |-149, dann:3

x^2+2x-48 = 0

x₁ = -8 und x₂ = 6

Ersteres ist keine natürliche Zahl, also haben wir 6, 7, 8 als unsere gesuchten Zahlen.

Grüße

Comments

und wie kommt man auf die 7 ??

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Naja der Nachfolger von 6 ist 7, nicht? ;)

Answer 3

Na ja, die drei Quadrate liegen in der Nähe von 150 : 3 = 50.
Die der 50 nächste Quadratzahl wäre die 49, ihre Wurzel ist 7.
Sie und ihre beiden Nachbarn sind die drei Gesuchten.